考研数学春季强化班高数讲义
第一章 函数 极限 连续
一．函数
1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性
定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义：
(2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性
定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义：
(2）设f(x)可导，则：
a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数；
b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；
连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性
定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义；
(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
2
4)有界性
定义：若?M?0,?x?I,f(x)?M;则称f(x)在I上有界。 判定：（1）定义：
（2）f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上有界；
（3）f(x)在(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在?f(x)在
（a,b）上有界；
（4）f?(x)在区间I（有限）上有界?f(x)在I上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数:
常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:
由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.
题型一 复合函数
例1设f(x?1)的定义域为[0,a],(a?0),，则f(x)的定义域为 (A) [1,a?1] (B) [?1,a?1]
(C) [a?1,a] (D) [a,a?1]
例2已知f(x)?ex,f[?(x)]?1?x,且?(x)?0,求?(x)及其定义域。
(?(x)?2ln(1?x),x?0)
?2?x2,|x|?1?0,x?0例3设f(x)??, g(x)??
1,x?0|x|?2,1?|x|?? 试求f[g(x)],g[f(x)].
1?|x|?2?0,?2,x?0 ( f[g(x)]?? g[f(x)]?? )
?1,|x|?1或2?|x|??1,x?0 题型二 函数性态
3