概率论与数理统计的应用举例
摘要：通过本学期概率论与数理统计的学习，我基本掌握了基本的知识，这对我以后的发展有着很大的助益。本文将先介绍概率论与数理统计的几个基本定理，再举例说明概率论与数理统计在其他领域的应用。 关键词：遗传、彩票、赌博
一、定理的介绍：
1.加法定理：当一个事件出现时，另一个事件就被排除，这样的两个事件为互斥事件或交互事件。这种互斥事件出现的概率是它们各自概率的和。事件互斥是的加法公式: P(AB)=P(A)+P(B)事件相容时的加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
2. 乘法定理：当一个事件的发生不影响另一事件的发生时，这样的两个独立事件同或相继出现的概率是它们各自出现概率的乘积。乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)或P(AB)=P(A)P(B|A)。
二、遗传分析中的应用：
在对遗传学问题进行分析时，常常采用棋盘法或分枝法，这两种方法的主要依据都是概率中的两个定理——乘法定理和加法定理。
1.肤色正常(A)对白化(a)是显性。一对夫妇的基因型都是Aa，他们的孩子的基因型可能是：AA、Aa、aA、aa，它们的概率是什么？
他们的概率都是1/4。然而这些基因型嗾使互斥事件，一个孩子是AA，就不可能同时又是其他。所以一个孩子表现型正常的概率是1/4(AA)+1/4(Aa)+1/4(aA)=3/4(AA或Aa或aA)。
生男孩和生女孩的概率都分别是1/2，由于第一胎不论生男孩是生女都不会影响第二胎所生孩子的性别，因此属于两个独立事件。第一胎生女孩的概率是1/2，第二胎生女孩似的概率也是1/2，那么两胎都生女孩的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。
2. 豌豆子粒黄色(Y)对绿色(y)是显性，圆粒(R)对皱粒(r)是显性。控制两对相对性状的非等位基因是按自由组合定律遗传的。如果黄色圆粒豌豆甲(YyRr)和绿色圆粒豌豆乙(rrRr)杂交，问后代出现基因型YyRR的概率是多少？
首先分析：甲、乙产生配子的种类和概率。根据一对等位基因与另一对等位基因的分离是各自独立的，非等位基因是互不干扰地分配到配子中去的原理，甲产生还有Y和y配子的概率分别是1/2，产生还有R和r配子的概率也分别是1/2。又因为Y和R是同时出现在一个配子中的，因此，它们同时出现在配子中的概率是：1/2(Y)*1/2(R)=1/4(YR)。根据同样的道理，甲可以产生4种配子，他们的概率分别是1/4YR、1/4Yr、1/yR和1/yr；乙可以产生2种配子，它们的概率分别是1/2yR和1/2yr。由于甲、乙产生的配子结合是随机的独立事件，只有甲的YR配子和乙的yR配子结合才会得到基因型YyRR的后代，因此，YyRR基因型出现的概率是1/4(YR)*1/2(yR)=1/8(YyRR)。以上就是著名的孟德尔定律。
三、福利彩票中的应用：
概率统计是研究随机现象统计规律性的数学方法，在科学技术的各个门类中、社会经
济管理中都有着广泛的应用。如有关产品合格率、市场占有率、摸彩票等问题。
1、经某市人民政府同意，由某市募委会承办的以“扶贫济困送温暖”为主题的福利彩票销售活动将于3月28日上午9时隆重举行，发行时间3天，共发行1200万元福利彩票，每张彩票面值为人民币贰元。这次摸奖所设奖项如下表：
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奖品（金）奖级 中奖名额 中奖符号 名称 人民币18特等奖 15 AAAAA 万元
人民币9980 一等奖 150 BBBBB 元
人民币5000二等奖 120 CCCCC
元 人民币1000三等奖 750 DDDDD 元
人民币10
四等奖 48000 EEEEE 元
五等奖 450000 人民币2元 FFFFF
此次活动所筹集的资金将用于市级社会福利设施的改善、城市特困学生和城区特困残疾职工家庭等的补助。 试考虑以下问题：
（1）获得特等奖金究竟有多大机会？
（2） 能获得2元以上奖金的可能性有多大？ （3）试估计这次募捐能获得多少钱？ 解：（1） 15
?6. 5 4 ? 2 ? 10
600?10
（2） 499035
?8.31725?10-2 4600?10
（3） 15 ? 18 ? 4 ? 150 ? 9980 ? 120 ? 5000 ? 750 ? 1000 ? 48000 ? ? 1010 450000?2?6927000
1200?104?6927000?5073000(元)
2、彩票玩法比较简单，2 元买一注，每一注填写一张彩票。每张彩票由一个6 位数字和一个特别号码组成。每位数字均可填写0, 1, \这10 个数字中的一个;特别号码为0, 1,2, 3,4 中的一个。每期设六个奖项，投注者随机开出一个奖号—一个6 位数号码，另加一个特别号码即0- 4 中的某个数字。中奖号码规定如下:彩票上填写的6 位数与开出的6 位数完全相同，而且特别号码也相同— 特等奖;6 位数完全相同— 一等奖;有5 个连续数字相同 — 二等奖;有4 个连续数字相同— 三等奖;有3 个连续数字相同— 四等奖;有2 个连续数字相同—五等奖。每一期彩票以收入的50%作为奖金。三、四、五等奖的奖金固定，特一、
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二等奖的奖金浮动。例如，如果一等奖号码是123456，特别号为0，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表所列:
奖级 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 中奖号码 1 2 3 4 5 6+0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 口 口2 3 4 5 6 如:口2 3 4 5 口 等共3 组 如:口口口4 5 6 等共4 组 每注奖金 (奖金总额一固定奖金)x 65%/注数88 万元(保底) 一500万元(封顶) (奖金总额一固定奖金)x 15%/注数 (奖金总额一固定奖金) x 20%/ 注数 300 元 20 元 五等奖 如:口口口4 5 口 5 元 等共5 组 求中只买一注中每种奖项的概率？ 一等奖的概率为:
P1= 1/ 1000 000=0.000001; 中二等奖的概率为:
P2=20/ 1000000= 0.00002; 中三等奖的概率为:
P3=300/ 1000000=0.000 3; 中四等奖的概率为:
P4= 4000/ 1000000= 0.004; 中五等奖的概率为:
P5=50000/ 1000000=0.050
总的中奖概率为：P=P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212这就是说，每1000 注彩票，约有54 注中奖。由此可看出福利事业的收入可见一斑。
四、赌博行业的应用：
在某旅游景点，有人用20枚签设赌，其中10枚标有5分分值，10枚标有10分分值。
游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖罚依据。具体奖罚金额如下：分值是50或100，奖100元；分值是55或95，奖10元；分值是60，65，85或90，不奖不罚；分值是70，75或80，罚1元。
总共11个分值，有奖有罚。其中有4个分值可以获奖，且最高奖额为100元；只有3个分值要受罚，而罚额仅为1元，那么，这些奖是不是这么好拿呢？
用C(n,k)表示n个中选k个的组合数（k≤n）。
用X表示奖罚金额，它可能取到－1、0、10、100这4个值。下面分别计算X取这4个值的概率。
从20枚签中抽取10枚的取法种数是N＝C(20,10)＝184756。
抽到70分，75分或80分，将被罚1元。抽到6个5分签，4个10分签，将得到70分；抽到5个5分签，5个10分签，将得到75分；抽到4个5分签，6个10分签，将得到80分。事件“罚1元”所包含的可能结果数K1＝C(10,6)×C(10,4)＋C(10,5)×C(10,5)＋C(10,4)×C(10,6)＝151704。
抽到60分，65分，85分或90分，不奖不罚。抽到8个5分签，2个10分签，将得到
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