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第八章 无穷级数（数学一和数学三）
引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：
1?1?1?1???(?1)n?1??
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 (1?1)?(1?1)???(1?1)???0 第二种 1?(1?1)?(1?1)??(1?1)???1 第三种 设1?1?1?1???(?1)n?1???S
则1??1?1?1?1????S
1?S?S, 2S?1, S?1 2这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？
3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概
念和性质需要作详细的讨论。
§ 8.1 常数项级数
（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念
无穷多个数u1,u2,u3,?,un,?依次相加所得到的表达式为数项级数（简称级数）。
?un?1?n?u1?u2?u3???un??称
Sn??uk?u1?u2?u3???un （n?1,2,3,?）称为级数的前n项的部分和，
k?1n?Sn?(n?1,2,3,?)称为部分和数列。
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若limSn(存在)?S，则称级数?un是收敛的，且其和为S，记以?un?S
n??n?1n?1??若limSn不存在，则称级数?un是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下
n???n?1可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）
2． 基本性质 （1） 如果
?u和?v皆收敛，a,b为常数，则?(aunnn?1n?1n?1???n?bvn)收敛，且等于a?un?b?vn
n?1n?1??（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不
变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数
?u收敛的必要条件是limunn?1n???n?0
（注：引言中提到的级数
?(?1)n?1?n?1,具有lim??1?不存在，因此收敛级数的必要条件不满
n?1n??足，
???1?n?1?n?1发散。调和级数
?n?1??111满足lim?0,但?却是发散的，所以满足
n??nnnn?1?收敛级数的必要条件limun?0，而
n???n?1） un收敛性尚不能确定。
3．两类重要的级数
（1）等比级数（几何级数）
?ar ?a?0?
n
n?0
?
当r?1时，
?arn?n?0?
?
a收敛 1?r当r?1时，
?ar
n?0
n
发散
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（2）p一级数
1 ?pn?1n?11当p>1时，?p收敛， 当p?1时?p发散
n?1nn?1n?1?21?（注：p>1时，?p的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知?） 2n6nn?1n?1???
二、正项级数敛散性的判别法
?Sn?是单调 若un?0?n?1,2,3,??则?un称为正项级数，这时Sn?1?Sn?n?1,2,3,??所以n?1?加数列，它是否收敛就只取决于Sn是否有上界，因此
?n?1?un收敛?Sn有上界，这是正项级数
比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
1. 比较判别法
则?un收敛；如果?un发散，设c?0,当n?N时，cvn?un?0皆成立，如果?vn收敛，
n?1n?1n?1????则
?vn?1n发散。
2. 比较判别法的极限形式
设un?0,vn?0,(n?1,2,3,?) 若limn??un?A vn1) 当0 ??un?1n?n与 ?vn?1?n同时收敛或同时发散。 ?2) 当A=0时，若 ?vn?1?收敛，则 ?un?1?n收敛。 3) 当A=+?时，若 ?un?1n收敛，则 ?vn?1n收敛。 ~~~