专题05 函数的单调性与最值
一、【知识精讲】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定 义 量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图 象 描 述 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 条件 f(x0)＝M M为函数y＝f(x)的最小值 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 [知识拓展] 函数单调性的常用结论 (1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，
f?x1?－f?x2?f?x1?－f?x2?
＞0?f(x)在D上是增函数，＜0?f(x)在D上是减函数，
x1－x2x1－x2
即Δx与Δy同号增，异号减．
(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
(4)f(x)＝x＋(a＞0)的单调性，如图可知，(0，a]减，[a，＋∞)增，[－a，0)减，(－∞，－a]增．
ax
1
二、【典例精练】
例1.(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2
－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】(1)D
【解析】由x2
－2x－8>0，得x>4或x<－2. 设t＝x2
－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2
－2x－8的单调递增区间． ∵函数t＝x2
－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D．
(2) 试讨论函数f(x)＝
axx－1
(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】 法一：定义法 设－1 f(x)＝a? ?x－1＋1?x－1???＝a???1＋1x－1?? ? ， 则f(x1)－f(x2)＝a??1＋1? x1??－a??1?1＋x? ? 1－?2－1?＝ a?x2－x1? ?x. 1－1??x2－1? 由于－1 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) f′(x)＝ ?ax?′?x－1?－ax?x－1?′ ?x－1? 2 ＝ a?x－1?－ax?x－1?2＝－a?x－1? 2. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 【方法小结】 1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性 ?1?定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2 ?2?复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. ?3?图象法：如果f?x?是以图象形式给出的，或者f?x?的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. ?4?导数法：利用导函数的正负判断函数单调性. 2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结. 例2. (1) (2017·浙江高考)若函数f(x)＝x＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－ 2 m( ) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 a?1??1?(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在?，2?上的值域为?，2?，则a＝________，b＝________. x?2??2? ??－x－4x，x≤0， (3)函数f(x)＝? ?sin x，x>0? 2 的最大值为________． 5 【答案】(1)B (2)1， (3)4 2 【解析】(1)法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x1＋ax1＋b，M＝x2＋ 2 2 ax2＋b. ∴M－m＝x2－x1＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B． 法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，故函数f(x)在区间[0,1]的最大值M和最小值m变化，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B． (2)单调性法 2 2 a?1?∵f(x)＝－＋b(a>0)在?，2?上是增函数， x?2? ?1?1 ∴f(x)min＝f??＝，f(x)max＝f(2)＝2. ?2?2 1 －2a＋b＝，??2即?a－??2＋b＝2， 5 解得a＝1，b＝. 2 (3)当x≤0时，f(x)＝－x－4x＝－(x＋2)＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值， 22 3