(山东专用)2020年高考数学一轮复习专题05函数单调性与最值(含解析)

专题05 函数的单调性与最值

一、【知识精讲】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定 义 量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图 象 描 述 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值

前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 条件 f(x0)=M M为函数y=f(x)的最小值 结论 M为函数y=f(x)的最大值 [知识拓展] 函数单调性的常用结论 (1)对?x1,x2∈D(x1≠x2),

f?x1?-f?x2?f?x1?-f?x2?

>0?f(x)在D上是增函数,<0?f(x)在D上是减函数,

x1-x2x1-x2

即Δx与Δy同号增,异号减.

(2)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.

(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

(4)f(x)=x+(a>0)的单调性,如图可知,(0,a]减,[a,+∞)增,[-a,0)减,(-∞,-a]增.

ax

1

二、【典例精练】

例1.(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2

-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)

【答案】(1)D

【解析】由x2

-2x-8>0,得x>4或x<-2. 设t=x2

-2x-8,则y=ln t为增函数.

要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2

-2x-8的单调递增区间. ∵函数t=x2

-2x-8的单调递增区间为(4,+∞), ∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞). 故选D.

(2) 试讨论函数f(x)=

axx-1

(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【解析】 法一:定义法 设-1

f(x)=a?

?x-1+1?x-1???=a???1+1x-1??

?

则f(x1)-f(x2)=a??1+1?

x1??-a??1?1+x?

?

1-?2-1?=

a?x2-x1?

?x.

1-1??x2-1?

由于-1

所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,

故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上单调递减;

当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

f′(x)=

?ax?′?x-1?-ax?x-1?′

?x-1?

2

a?x-1?-ax?x-1?2=-a?x-1?

2.

当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.

【方法小结】 1.对于选择题,填空题可用下面四种方法判断函数单调性

?1?定义法:取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.

2

?2?复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时为增函数,不同时为减函数.

?3?图象法:如果f?x?是以图象形式给出的,或者f?x?的图象易作出,可由图象的直观性判断函数单调性. ?4?导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.

2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中,见到有解析式,尽量用导数法. 易错警示:①求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写,不能用“∪”联结.

例2. (1) (2017·浙江高考)若函数f(x)=x+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-

2

m( )

A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关

a?1??1?(2)若函数f(x)=-+b(a>0)在?,2?上的值域为?,2?,则a=________,b=________. x?2??2?

??-x-4x,x≤0,

(3)函数f(x)=?

?sin x,x>0?

2

的最大值为________.

5

【答案】(1)B (2)1, (3)4

2

【解析】(1)法一:设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m=x1+ax1+b,M=x2+

2

2

ax2+b.

∴M-m=x2-x1+a(x2-x1),显然此值与a有关,与b无关.故选B.

法二:由题意可知,函数f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b的变动,相当于图象上下移动,若b增大k个单位,则最大值与最小值分别变为M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与b无关.随着a的变动,相当于图象左右移动,故函数f(x)在区间[0,1]的最大值M和最小值m变化,则M-m的值在变化,故与a有关.故选B. (2)单调性法

2

2

a?1?∵f(x)=-+b(a>0)在?,2?上是增函数,

x?2?

?1?1

∴f(x)min=f??=,f(x)max=f(2)=2.

?2?2

1

-2a+b=,??2即?a-??2+b=2,

5

解得a=1,b=.

2

(3)当x≤0时,f(x)=-x-4x=-(x+2)+4,而-2∈(-∞,0],此时f(x)在x=-2处取得最大值,

22

3

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