高等数学II试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设2．函数
方向导数最大。 3．
为圆周
由方程
在点
确定，则沿方向
。
(4,0,-12) 的
，计算对弧长的曲线积分上点
处的切线平行于平面
=。 ，则点
4．已知曲线
的坐标为5．设
或。
的定义为
是周期为2的周期函数，它在区间
，则的傅里叶级数在收敛于。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
1． 设
连续，交换二次积分
的积分顺序。
解：
2． 计算二重积分
，其中
是由
轴及圆周
所
围成的在第一象限内的区域。
解：
3． 设
是由球面
与锥面
围成的区域，试将三
重积分
解：
化为球坐标系下的三次积分。
4． 设曲线积分
连续导数，且
解：得
，即
，
，求
。 。由
。解微分方程
与路径无关，，得其通解
与路径无关，其中
具有一阶
。又
5． 求微分方程解：
，得。故的通解。
的通解为。
设原方程的一个特解，代入原方程，得。其通解为
三、(10分)计算曲面积分
的上侧。
解：补上
下侧。
，其中∑是球面
四、(10分)计算三重积分
围成的区域。 解：
，其中由与
五、(10分)求
解：
在
下的极值。
令，得。，为极小值点。故
在下的极小值点为，极小值为
与平面
。
所围立体的表面积。
六、(10分)求有抛物面
解：
的面积为
平面部分的面积为。故立体的表面积为。