2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数列综合题（30
题）
一、解答题（共30小题）
1．（2017?河西区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?n(n?1)(n?N*)． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：an?（Ⅲ）令cn?bbb1b?22?33???nn，求数列{bn}的通项公式； 3?13?13?13?1anbn(n?N*)，求数列{en}的前n项和Tn． 42?6an?6(n?N?) 2．（2016?天津一模）数列{an}满足a1?2，an?1?an（Ⅰ）设Cn?log5(an?3)，求证{Cn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设bn?1151，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：??Tn??． ?2an?6an?6an1643．（2015?淮安校级四模）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S5?2a4?a5，a9?a3?a4． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若amam?1?am?2，求正整数m的值； （3）是否存在正整数m，使得
S2m恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条S2m?1件的m值，若不存在，说明理由．
4．（2016?辽宁校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?an?2SnSn?1?0(n…2)．
1，2（1）判断{1}是否为等差数列？并证明你的结论； Sn（2）求Sn和an；
（3）求证：S12?S22???Sn2?11． ?24n第1页（共76页）
5．（2016?南京三模）已知数列{an}，{bn}满足bn?an?1?an，其中n?1，2，3，?． （Ⅰ）若a1?1，bn?n，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn?1bn?1?bn(n…2)，且b1?1，b2?2． （ⅰ）记en?a6n?1(n…1)，求证：数列{en}为等差数列；
a（ⅱ）若数列{n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．
n6．（2015?湖北二模）数列{an}中，a1?1，a2?2，数列{bn}满足bn?an?1?(?1)nan，n?N?． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前100项和S100； （Ⅱ）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式．
7．（2015?高邮市校级模拟）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an} 前n项和为Sn，且满足S3?a4，a3?a5?2?a4 （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}前2k项和S2k；
（3）在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am?1，am?2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．
8．（2016?丰台区一模）已知数列{an}是无穷数列，a1?a，a2?b(a，b是正整数），
?an?a?n?1???an?1??an(an?1),an?1an?1a(n?1)an?1．
（Ⅰ）若a1?2，a2?1，写出a4，a5的值；
（Ⅱ）已知数列{an}中ak?1(k?N*)，求证：数列{an}中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{an}中任何一项都不等于1，记bn?max{a2n?1，a2n}(n?1，2，3，?；max{m，．求证：数列{bn}是单调递减数列． n}为m，n较大者）
9．（2014?东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}:a1第2页（共76页）
是自然数，an?f(an?1)(n?N*，n…2)． （Ⅰ）求f(99)，f(2014)； （Ⅱ）若a1…100，求证：a1?a2； （Ⅲ）求证：存在m?N*，使得am?100．
10．（2017?启东市校级模拟）已知数列{an}满足a1?1，a2?3，且an?2?(1?2|cosn?n?|)an?|sin|，n?N*， 22（1）求a2k?1(k?N*)；
2（2）数列{yn}，{bn}满足yn?a2n?1，b1?y1，且当n…2时bn?yn(111????)．证22y12y2yn?1bn?1bn1； ??(n?1)2n2n21111（3）在（2）的条件下，试比较(1?)g(1?)g(1?)g?g(1?)与4的大小关系．
b1b2b3bn明当n…2时，有
11．（2014?南充模拟）对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，则称x0为f(x)的
x2?a不动点．如果函数f(x)?有且仅有两个不动点0和2．
bx?c（1）试求b、c满足的关系式．
（2）若c?2时，各项不为零的数列{an}满足4Sngf(（3）设bn??1111求证：(1?)an?1??(1?)an． )?1，
ananean1，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009?1?ln2009?T2008． an12．（2019?上海）数列{an}(n?N*)有100项，a1?a，对任意n?[2，100]，存在an?ai?d，i?[1，n?1]，若ak与前n项中某一项相等，则称ak具有性质P．
（1）若a1?1，d?2，求a4所有可能的值；
（2）若{an}不为等差数列，求证：数列{an}中存在某些项具有性质P；
（3）若{an}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1?a2???a100． 13．（2019?天津）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1?4，b1?6，b2?2a2?2，b3?2a3?4．
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