数学试卷
∴∠P=∠PAD， ∴PD=AD=． 点评： 此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 23．（8分）（2019?溧水区一模）某长方体包装盒的展开图如图所示．如果包装盒的表面积为146cm，求这个包装盒的体积．
2
考点： 一元一次方程的应用；几何体的表面积；几何体的展开图． 分析： 先根据表面积求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算出其值就可以了． 解答： 解：设高为xcm，则长为（13﹣2x）cm，宽为（14﹣2x）cm．由题意，得 [（13﹣2x）（14﹣2x）+（14﹣2x）x+x（13﹣2x）]×2=146， 解得：x1=2，x2=﹣9（舍去） ∴长为：13﹣2x=9cm，宽为：5cm． 长方体的体积为：9×5×2=90cm． 3答：这个包装盒的体积为90cm． 点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的额解法的运用，几何体的表面积的运用，几何体的体积公式的运用． 24．（8分）（2019?溧水区一模）如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°． （1）求气球的高度（结果精确到0.1m）；
（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）．
3数学试卷
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： （1）分别过C、C′作AB的垂线，设垂足为D、E；在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用所给角的三角函数分别用BD表示出CD，联立两式即可求出CD、BD的长． （2）直角梯形ADCC′中，已知了BD、AB的长，即可求出AD的长；而AE的长可在Rt△ABC′中利用已知角的三角函数求出，即可得出ED、CC′的长，也就得出了气球10秒漂移的距离，根据速度=路程÷时间，即可得解． 解答： 解：（1）作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E． ∵CD=BD?tan60°， CD=（100+BD）?tan30°， ∴（100+BD）?tan30°=BD?tan60°， ∴BD=50m，CD=50≈86.6m． ∴气球的高度约为86.6m； （2）∵BD=50m，AB=100m， ∴AD=150m． 又∵AE=C′E=50m， ∴DE=150m﹣50m≈63.4m． ∴气球飘移的平均速度约为63.4÷10=6.34米/秒． 点评： 解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题． 25．（10分）（2019?溧水区一模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示． （1）图中点P的坐标为（0.5，0），请解释该点坐标所表示的实际意义； （2）填空：A、C两港口间的距离为 120 km，a= 2 ； 当0＜x≤0.5时，y与x的函数关系式为： y=﹣60x+30 ； 当0.5＜x≤a时，y与x的函数关系式为： y=60x﹣30 ；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为24km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？
（4）请你根据以上信息，针对A岛，就该海巡船航行的“路程”，提出一个问题，并写出解答过程．
数学试卷
考点： 一次函数的应用． 分析： （1）根据到B岛的距离为0可知点P表示达到B岛； （2）A、C两港口间的距离等于A、C到B岛的距离之和；先根据速度=路程÷时间求出船的速度，然后再根据时间=路程÷速度列式计算即可求出a的值； 根据与B港的距离等于A、B两港间的距离减去船行驶的距离，列式整理即可； 根据路程=速度×时间列式整理即可得解； （3）求出船距离B港24km时的时间，然后相减即可得解； （4）出发1小时距离A港的距离． 解答： 解：（1）P点坐标的意义为：该海巡船出发0.5 h后，到达B岛； （2）30+90=120千米， 船的速度为：=60千米/小时， a=120÷60=2； 当0＜x≤0.5时，y=﹣60x+30， 当0.5＜x≤2时，y=60（x﹣0.5）=60x﹣30， 即y=60x﹣30； （3）由﹣60x+30=24，得：x=0.1， 由60x﹣30=24，得，x=0.9， 0.9﹣0.1=0.8小时， 所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.8小时； （4）答案不唯一：例如，该海巡船1小时弧距离A岛有多少路程？ 把x=1代入y=60x﹣30得，y=60﹣30=30千米． 故答案为：120，2；y=﹣60x+30，y=60x﹣30． 点评： 本题考查的是用一次函数解决实际问题，本题主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难度不大． 26．（10分）（2019?溧水区一模）某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元．为了促销，决定凡是购买10件以上的，每多买一件，售价就降低0.10元（例如，某人买20件，于是每件降价0.10×（20﹣10）=1元，就可以按59元/件的价格购买），但是最低价为55元/件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费1.6元/件． （1）求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？ （2）写出当一次出售x件时（x＞10），利润y（元）与出售量x（件）之间的函数关系式；
数学试卷
（3）有一天，一位顾客买了47件，另一位顾客买了60件，结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价55元/件至少要提高到多少？为什么？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）设顾客一次至少购买x件，则超过了（x﹣10）件，每件就应该减少0.1（x﹣10）元，就可以建立等式为60﹣0.1（x﹣10）=55，求出其解就可以了； （2）根据利润=（每件售价﹣每件进价）×数量建立等式就可以表示出y与x之间的函数关系式； （3）先将y与x之间的关系变为顶点式，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的性质就可以求出最大利润的数量，从而可以确定最低售价． 解答： 解 （1）设顾客一次至少购买x件，由题意，得 60﹣0.1（x﹣10）=55， 解得：x=60； （2）由题意，得 当10＜x≤60时， y=[60﹣0.1（x﹣10）﹣50]x﹣1.6x 2=﹣0.1x+9.4x； 当x＞60时， y=（55﹣50﹣1.6）x=3.4x． （3）∵当10＜x≤60时， 2y=﹣0.1x+9.4x 2∴y=﹣0.1（x﹣47）+220.9， ∵a=﹣0.1＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴是x=47， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而随x的增大而减少． 要想卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大， ∴二次函数性质可知，x≤47， ∴当x=47时，最低售价应定为60﹣0.1（47﹣10）=56.3元． 点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=（每件售价﹣每件进价）×数量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，在解答时求出利润的解析式是关键，灵活运用解析式解决问题是难点． 27．（10分）（2019?溧水区一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°（0＜m＜180），得线段PQ． （1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°． ①探究m与n之间的数量关系；
②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围．（在备用图中探究）