六、计算题
9. 假定总体共有1000个单位，总体均值??32，总体标准差??5。从中抽取一个样本容量为30的简单随机样本用于获得总体信息。
（1）x的数学期望是多少？ （2）x的标准差是多少？
解：（1）样本均值的数学期望=总体均值=32 （2）样本均值的标准差??n?5?0.91 3010. 从一个总体标准差为5的总体中抽出一个样本容量为40的样本，样本均值为25。样本均值的抽样标准差?x等于多少？ 解：样本均值的抽样标准差?x??n?5?0.79 4011. 设总体均值??17，总体标准差??10。从该总体中抽取一个样本容量为100的随机样本，样本均值为x100。则x100的抽样分布是什么？ 解：因为样本均值的期望值=总体均值=17
样本均值的标准差=总体标准差10??1
n100又因为样本容量大于30，是大样本，所以x100?N(17,1)
12. 假定总体比例??0.55，从该总体中分别抽取样本容量为100、200、500和1000的样本。
（1）分别计算样本比例的标准差?p。
（2）当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？ 解：（1）n?100时，样本比例的标准差
?p??(1??)n?0.55(1?0.55)?0.05
100n?200,同理可计算，500,1000时的样本比例的标准差分别为0.035，0.022，0.16。
（2）当样本容量增大时，样本比例的标准差越来越小。
六、计算题
13. 随机抽取400只袖珍半导体收音机，测得平均使用寿命5000小时。若已知该种收音机使用寿命的标准差为595小时，求概率保证程度为99.73%的总体平均使用寿命的置信区间。 解：已知n?400,命的置信区间为：
x?5000,??595,1???99.73%,Z?/2?3，总体平均使用寿
x?Z?/2
?595n400?5000?89.25?5000?3??(4910.75,5089.25)
该批半导体收音机平均使用寿命的置信区间是4910.75小时～5089.25小时。
14. 一个电视节目主持人想了解观众对某个电视专题的喜欢程度，他选取了500个观众作样本，结果发现喜欢该节目的有175人。试以95%的概率估计观众喜欢这一专题节目的区间范围。若该节目主持人希望估计的极限误差不超过5.5%，问有多大把握程度？ 解：已知n?500,p?175?0.35,1???95%,Z?/2?1.96,因此，在概率保证程度500为95%时，观众喜欢这一专题节目的置信区间为：
p?Z?/2p(1?p)0.35?(1?0.35)?0.35?1.96? n500?0.35?0.042?(30.8%,39.2%)若极限误差不超过5.5%，则
Z?/2?d?p(1?p)n5.5%5.5%??2.58
0.35?(1?0.35)2.13P0于是，把握程度为99%。
15. 假定总体为5000个单位，被研究标志的方差不小于400，抽样允许误差不超过3，当概率保证程度为95%时，问（1）采用重复抽样需抽多少单位？（2）若要求抽样允许误差减少50%，又需抽多少单位？ 解：已知n?5000,?2?400,d?3,1???95%,Z?/2?1.96
(Z?/2)2?21.962?400??170.74，需抽查171个单位。 （1）n?d232(Z?/2)2?21.962?400??682.95，需抽查683个单位。 （2）n?22d1.516. 调查一批机械零件合格率。根据过去的资料，合格品率曾有过99%、97%和95%三种情况，现在要求抽样极限误差不超过1%，要求估计的把握程度为95%，问需抽取多少个零件？ 解：根据提供的3个合格率，取总体方差最大值进行计算，故用
p?95%,Z?/2?1.96
(Z?/2)2p(1?p)1.962?95%?5%n???1824.76，需抽查1825件。 22d0.01六、计算题
17. 某质量管理部门从某厂抽出若干金属线组成的样本做断裂强度试验。已知这类金属线的断裂强度服从正态分布，标准差为10千克。按照标准，要求该金属线的平均断裂强度高于500千克。由5根金属线所组成的样本，其断裂强度的平均值为504千克。以0.01的显著性水平判断该厂产品是否符合标准。
解：由题意可知，这是关于总体均值的假设检验问题，其检验过程如下： （1）建立假设：H0:??500,H1:??500
（2）选择并计算统计量：因为总体方差已知，所以用Z统计量进行检验。
Z?x??504?500??0.89
?/n10/5（3）确定临界值：因为显著性水平??0.01，所以左单侧临界值?Z???2.33。 （4）进行统计决策：因Z?0.89??2.33，所以不能拒绝原假设，即接受该厂产品符合标准。
18. 某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的插播广告是针对平均年龄为21岁的
年轻人的。这家广告公司经理想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正
2态分布，现随机抽取400多位听众进行调查，得出的样本结果为x?25岁，S?16。以
0.05的显著水平判断广告公司的广告策划是否符合实际？
解：由题意可知，这是关于总体均值的双侧检验问题，其假设检验过程如下： （1）建立假设：H0:??21,H1:??21
（2）选择并计算统计量：因为是大样本，所以用Z统计量进行检验。
Z?x??25?21??20
S/n4/400（4）进行统计决策：因|Z|?20?1.96，所以拒绝原假设，即调查结果表明该公司的节目并没有吸引它所预期的听众，广告策划不符合实际，需要改变和调整。
19. 有一厂商声称，在他的用户中，有75%以上的用户对其产品的质量感到满意。为了解该厂家产品质量的实际情况，组织跟踪调查。在对60名用户的调查中，有50人对该厂产品质量表示满意。在显著性水平0.05下，问跟踪调查的数据是否充分支持该厂商的说法？ 解：由题意可知，这是关于总体比例的右单侧检验问题，其假设检验过程如下： （1）建立假设：H0:??75%,H1:??75%
（2）选择并计算统计量：由于P=0.83，np=30×0.83=50>5，n(1-p)=10.2>5，所以选择Z统计量进行检验。
Z?p????(1??)n0.83?0.75?1.43
0.75?(1?0.75)60（3）确定临界值：因为显著性水平??0.05，所以右单侧临界值Z??1.645。
（4）进行统计决策：因Z?1.43?1.645，故不拒绝原假设，即调查数据没有提供充分的证据支持该厂商的说法。
20. 根据设计，某零件的内径标准差不得超过0.30厘米，现从该产品中随机抽验了25件，测得样本标准差为S?0.36,问检验结果是否说明该产品的标准差增大了？ 解：由题意可知，这是关于总体方差的右单侧检验问题，其假设检验过程如下： （1）建立假设：H0:??0.30,（2）选择并计算统计量：
22H1:?2?0.302
??2(n?1)S2?2(25?1)?0.362??34.56
0.3022（3）确定临界值：因为显著性水平??0.05，所以右单侧临界值???36.415。
（4）进行统计决策：因?2?34.56?36.415，故不拒绝原假设，即检验结果不能说明该产品的标准差增大了。
六、计算题
21. 有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如表8-9所示。
表8-9 生产性固定资产与工业总产值表
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 生产性固定资产价值（万元） 318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525 工业总产值（万元） 524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801 要求：
（1）说明两变量之间的相关方向。 （2）建立直线回归方程。 （3）计算估计标准误差。
（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时总产值（因变量）的可能值。 解：由Excel回归分析工具可得如下输出表
回归统计