将4个方程联立，可得滑轮的角加速度 ??F2F ?2mR?J/R5mR物体A与滑轮之间的绳中的张力
T2?T2??3F 52F 5物体B与滑轮之间的绳中的张力 T1?T1??3-7 如图所示，质量分别为m1和m2的物体A和B用一根质量不计的轻绳相连，此绳跨过一半径为R、质量为m的定滑轮。若物体A与水平面间是光滑接触，求：绳中的张力T1和T2各为多少？(忽略滑轮转动时与轴承间的摩擦力，且绳子相对滑轮没有滑动)
解：对滑轮、物体A和B分别进行受力分析，如图所示。因绳子不可伸长，故物体A和B的加速度大小相等。根据牛顿第二定律，有
T2aT1N1AT1?m1a (1)
P2?T2?m2g?T2?m2a (2)
滑轮作转动，受到重力P?、张力T1?和T2?以及轴对它的作用力N?等的作用。由于P?和N?通过滑轮的中
N??T1aBP2?T2P?心轴，所以仅有张力T1?和T2?对它有力矩的作用。由刚体的定轴转动定律有
RT2??RT1??J? (3)
因绳子质量不计，所以有
T1??T1, T2??T2
因绳子相对滑轮没有滑动，在滑轮边缘上一点的切向加速度与绳子和物体的加速度大小相等，它与滑轮转动的角加速度的关系为
a?R? (4)
滑轮以其中心为轴的转动惯量为
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J?将上面5个方程联立，得
T1?1mR2 (5) 2m1m2g1m1?m2?m2
1???m1?m?m2g2??T2?
1m1?m2?m23-8下面说法中正确的是[ A ] (A) 物体的动量不变, 动能也不变 (B) 物体的动量不变, 角动量也不变 (C) 物体的动量变化, 角动量也一定变化 (D) 物体的动能变化, 动量却不一定变化
3-9一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为r?acosωti?bsinωtj，其中a、b、ω皆为常数．则此质点所受的对原点的力矩M= ；该质点对原点的角动量L= 。
d2r2解：因为F?m2??m?r
dt所以 M?r?F?r??m?r?0 因为 P?mv?m?2?dr?m??a?sin?ti?b?cos?tj? dtL?r?P??acos?ti?bsin?tj????a?sin?ti?b?cos?tj?m
其中，i?j??j?i?k，i?i?j?j?0，对上式计算得
L=abmωk
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3-10一人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为J，角速度为ω。若此人突然将两臂收回，转动惯量变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动能与收臂前的动能之比。
解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为
??，由L1?L2得
J??J?? 3即 ???3? 所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为
1J2??23?Ek3?? 1Ek1J?22
3-11一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为r(r?R)的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为v时，圆盘转动的角速度为多大？
解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为 J人?mr 圆盘的转动惯量为 J盘?21mR2 2选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有
J人?人?J盘?盘?0
其中 ?人?
v，代入上式得 r18
?盘??2rv 2R负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。
3-12一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0，设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系为M??kω (k为正常数)。 则在它的角速度从ω0变为
1ω0过程中阻力矩所做的功为多少？ 2解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为
W??Md??将??1212J??J?0 221?0代入上式，得 232 W??J?083-13 一根质量为m、长为l的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴O在竖直平面内转动。设t?0时刻，细棒从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。
解：解法一：对细棒进行受力分析可知，在转动过程中，细棒受到重力P和轴对棒的支持力N的作用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中，支持力N通过轴O，所以对轴O的力矩始终为零。重力对轴O的力矩为变力矩，是
棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成?角，则重力矩为
PO?CAM?mg
lcos? 219
所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩做的功为
W??Md????20llmgcos?d??mg22
设棒在水平位置的角速度为?0?0，在竖直位置的角速度为?。根据刚体定轴转动的动能定理，有
W?mgl1?Ek?Ek0?J?2?0 22其中，棒的转动惯量为J?12ml，代入上式得 3??3g l根据速度和角速度的关系v??r，细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度分别为
vC??l1?3gl 22vA??l?3gl
解法二：由于棒在转动过程中只有重力矩做功，所以机械能守恒，有?Ep??Ek
mg12l12=J?，J?ml 223??vC??3g ll1?3gl 22vA??l?3gl
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