第一篇 集合与不等式 专题1.02 常用逻辑用语
【考试要求】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系; 2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对特称命题进行否定. 【知识梳理】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“?”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“?”表示. 3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为
名称 形式 结构 简记 否定 【微点提醒】 1.区别A是B的充分不必要条件(A?B且B2.A是B的充分不必要条件?
A),与A的充分不必要条件是B(B?A且A
B)两者的不同.
全称命题 对M中的任意一个x,有p(x)成立 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p p?q且qpp q且q?p p?q q且qp ?p,读作“非p”)
特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ?x0∈M,p(x0) 0?p(x) ?x∈M,?p(x) ?B是?A的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.( ) (2)“长方形的对角线相等”是特称命题.( ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
1
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
【教材衍化】
2.(选修2-1P26A3改编)命题“?x∈R,x2+x≥0”的否定是( ) A.?x0∈R,x02+x0≤0 B.?x0∈R,x02+x0<0 C.?x∈R,x2+x≤0 D.?x∈R,x2+x<0
3.(选修2-1P12A4改编)圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是______________.
【真题体验】
4.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p:?n∈N,n2>2n,则?p为( )
A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n
D.?n∈N,n2=2n
5.(2018·R,则“?1天津卷)设x∈?x-2??<12”是“x3<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2019·济南调研)“a=0”是“函数f(x)=sin x-1x+a为奇函数”的________条件.
【考点聚焦】
2
考点一 充分条件与必要条件的判断
【例1】 (1)(2018·北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
mx+1
2,x≥0,??
1(2)(2019·华大新高考联盟质检)设函数f(x)=?则“m>1是f[f(-1)]>4”的( )
?xx<0.--,x?A.充分不必要条件 C.充要条件
【规律方法】 充要条件的两种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断.
(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
【训练1】 (2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
考点二 充分条件、必要条件的应用
典例迁移
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
【例2】 (经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
【迁移探究1】 本例条件不变,若x∈P是x∈S的必要不充分条件,求m的取值范围.
3