习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1g??? 322280 1 8110 21C3g???3/8 22211110 ??? 2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 ?4C7352C3gC1C1122g2 ?4C73522C3gC23 ?4C7353 0 C3C123g2 ?4C735C3C123g2 ?4C7350 1 0 2C1C1C263g2g ?4C7352C1C2gC163g2 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22g2/C7?1 35
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22
?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
ππππππ?singsin?singsin?sin0gsin?sin0gsin434636
2?(3?1).4 题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?
其他.?0,求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??100?212e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,
0,其他.???????????f(x,y)dxdy??
20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18（2） P{X?1,Y?3}???13????f(x,y)dydx
?(3) P{X?1.5}? ?x?1.5??013 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
13D1?1.5dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D2?20dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题6图
【解】（1） 因X在（0，）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
?5e?5y,y?0,fY(y)??
0,其他.?所以
f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)
?1?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,??5e ??0.2 ??其他.?0,??0,(2) P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25eD0.2x0.2000?5ydxdy
??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx=e-1?0.3679.
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,F（x，y）=?
其他.?0,