第11章流体力学习题解答 75 第11章流体力学习题解答
第十一章流体力学基本知识小结
⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。
⒉静止流体内的压强分布
相对地球静止：dp???gdy,p1?p2??gh（h两点间高度） 相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方
法分析。
⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即 Q?v1?s1?v2?s2?恒量
⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线，
p??gh?122?v?恒量 ⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即f??dvdy?s.?为粘性系数，与物质、温度、
压强有关。
⒍雷诺数及其应用 R?vle??,l为物体某一特征长度 ⑴层流、湍流的判据：Re?Re临，层流；Re?Re临，湍流 ⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。
⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r处的流速 v(r)?p1?p24?l(R2?r2)
11.2.1 若被测容器A内水的压强比大气压大很多时，可用图中
的水银压强计。⑴此压强计的优点是什么？⑵如何读出压强？设 h1=50cm,h2=45cm,h3=60cm,h4=30cm，求容器内的压强是多少大气压？
解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为p0, p1,p2,p3，水和水银的密度分别用ρ,ρ'表
示，据压强公式，有： hh1 3 h2 p1?p0??'gh1,p1?p2??ghA h4 'ghgh2,p
3?p2??3,pA?p3??4?pA??gh4?p3??gh4??'gh?3?p2?gh4??'gh3??gh2?p1??ghp
4??'gh3??gh2??'gh1?0??g(h4?h2)??'g(h1?h3)?p0用大气压表示：
pA?1?h4?h2h?h33013.6?76?176?1??4513.6?76?50?6076?2.43atm
11.2.2 A,B两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm，求A,B内的压强差是多少厘米水银柱高？这个压强计的优点是什么？ h1 h2 解：由压强公式：pA?p1??ghA B 1
p1?p2??'g?h,pB?p2??g(?h?h2)
pA?pB?(p1??ghg(h1)?(p2??gh2??g?h)(p?p
12)??1?h2??h)??'g?h??g?h
第11章流体力学习题解答 76 第11章流体力学习题解答
用厘米水银柱高表示：
pA?pB??h??h/13.6?50?50/13.6?46.3cmHg
也可以忽略管中水的重量，近似认为压强差为50cmHg 优点：车高雅差方便，压强计的高度不需太大。
11.2.3 游泳池长50m，宽25m，设各处
水深相等且等于1.50m，求游泳池各侧壁上的总压力，不考虑大气压。 dh h a b c 解：设游泳池长a=50m，宽b=25m，
水深c=1.50m。如图所示，在h深处，绕游泳池侧壁取高为dh的面元，其面积为 ds?2(a?b)dh. ∵h深处压强p?po??gh,不计大气压，p??gh ∴此面元所受压力：
dF??gh2(a?b)dh?2(a?b)?ghdh.
游泳池侧壁受的总压力
cF?2(a?b)?g?hdh?(a?b)?gc20
?(50?25)?103?9.8?1.52?1.65?106
11.2.4 所谓流体的真空度，指该流体内的压强与大P0
气压的差数，水银真空计如图所示，设h=50cm，问容B 器B内的真空度是多少N/m2？
解：
p0?pB??gh?13.6?103?9.8?50?10?2?6.664?104N/m2
11.2.5 ⑴海水的密度为ρ=1.03g/cm3，求海平面以下300m处的
压强。⑵求海平面以上10km高处的压强。
解：⑴
p?p0??gh?1.013?105?1.03?103?9.8?300?3.13?106p
a⑵?p?p??y0e,???0gp0?0.117/km，所以，海平面以上10km
处的压强：p?1.013?105e?0.117?10?0.314?105pa
11.2.6 ⑴盛有液体的容器以重力加速度自由下落，求液体内各点的压强；⑵若容器以竖直向上的加速度a上升，求液体内压强随深度的分布；⑶若容器以竖直向下的加速度a（ 解：以容器为参考系，设它相对地 的加速度为a h pds 0. 在水深h处取一体元， 上、下底面积为ds，高为dh，质量dm dh =ρdsdh .受力情况如图所示，其中， (p+dp)ds a0 dma dm(g+a0) 0为惯性力. 规定向上为正，由力的平衡方程， 有(p?dp)ds?pds?dm(g?a0)?0,?dp??(g?a0)dh phdp??(g?a0))h p??dh,p?p0??(g?a000⑴容器自由下落，a0??g,?p?p0 ⑵容器加速上升，a0?a,?p?p0??(g?a)h 第11章流体力学习题解答 77 第11章流体力学习题解答 ⑶容器加速下降，a0??a,?p?p0??(g?a)h 11.2.7 河床的一部分为长度等于b半径为a的四分之一柱面，柱面的上沿h 深度为h，求水作用于柱面的总压力的a 大小、方向和在柱面上的作用点。 解：取图示dθ对应的柱面，其面积为badθ，所受压力 x a dF?[p θ 0??g(h?asin?]bad? dFx dθ 方向如图示，取图示坐标o-xy, dF dFy a dFx?[p0??g(h?asin?)]bad?cos? dFy?[p0??g(h?asin?)]bad?sin? y ?/2?/2Fx?ab[(p0??gh)?cos?d???ga0?sin?dsin?]0?ab[(p0??gh)sin?|?/212/20??gasin?|?20] ?ab(p0??gh?12?ga)?/2?/2Fy?ab[(p0??gh)?sin?d??12?ga?(1?cos2?)d?00?ab[(p0??gh)cos?|0?/2??4?ga?14?gasin2?|?/20] ?ab(p0??gh??4?ga)（在上面积分中，运用了三角函数公式：sin2θ=(1-cos2θ)/2 ） 总压力大小：F?F2x?F2y 方向：总压力作用线过坐标原点，与柱面垂直，且与x轴夹角 ??tg?1Fyp0??gh??4?gaF?tg?1xp0??gh?1 2?ga总压力作用点：总压力作用线与柱面的交点。 11.2.8 船的底舱处开一窗，可藉此观察鱼群，窗为长1m半径R=0.6m的四分之一圆柱面，水面距窗的上沿h=0.5m，求水作用于窗面上的总压力的大小、方向和作用点。 解：此题与11.2.7题解法相同，由11.2.7题解答可知： Fx??ab(p0??gh?1?2?ga),Fy??ab(p0??gh?4?ga) 这里，b=1m,a=R=0.6m,h=0.5m，代入数据： Fx??0.6?1?[1.013?105?1?103?9.8(0.5?0.6/2)]??6.548?104NFy??0.6?1?[1.013?105?1?103?9.8(0.5?3.144?0.6)]??6.649?104Nh F?F2?F24Nx xy?9.332?10??arctgFyFx?arctg1.015?45?26' R y 11.2.9 一船质量为m，使船发生一初始 下沉，然后沿竖直方向振动，设船在吃水线 附近的截面积为s，海水比重为γ，证明船 o s 做简谐振动，并求周期.不计阻力。 证明：以地为参考系，选水面上一点为 原点，建立图示坐标o-x.船静止时，浮力与 x 重力大小相等，方向相反，合力为零。当船发生一位移x时，所受合力为 F = -γsx，为线性恢复力。