运用二叉树方法得到欧式看跌期权f?E为2.62美元，由布莱克－舒尔斯公式
??f?f??2.47计算可得fE?2.38，因此美式看跌期权的更优估计值为fA?fAEE美元。
3.（1）连续红利率的情形：
e(r?q)?t?d将风险中性概率修正为p?，其他条件不变，应用倒推法为期
u?d权定价。
（2）已知红利率?的情形：
只要调整除权日之后各结点处的证券价格为：
S(1??)ujdi?j j?0,1,??,i
其他条件不变。
（3）确定数额红利的情形：
假设有效期内只有一次红利，除权日为?。把i?t时刻证券价格S分为两个部分：一部分是不确定的S*，而另一部分是期权有效期内所有未来红利D的现值。用通常的方法构造出S*的二叉树（其中使用的波动率??为S*的标准差），之后应用
S*(i?t)?S(i?t) 当i?t??时
S*(i?t)?S(i?t)?De?r(??i?t) 当i?t??时
把S*的二叉树图转化为S的二叉树。
4.
△t 0.0417 u 1.0524 d 0.9502 p 0.5118 1-p 期权价格 0.4882 19.66 5. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。
????2?6. 使用的公式为S?t??t??S?t?exp??r?q???t????t?，注意从Excel
2????软件中可以得到取标准正态分布随机数的函数。
7.在波动率是随机的情况下，一次模拟过程需要两组标准正态分布的随机数，一组用于模拟波动率的运动过程，一组则用于在波动率已知的条件下产生资产价格的运动过程。
当使用控制方差法时，f?A表示波动率随机情况下进行模拟得到的期权价值，
f?B表示波动率为常数时运用相同的随机数流获得的期权价格估计，用fB代表波
动率为常数时的应用布莱克－舒尔斯公式得到的期权价值，期权的较优估计值
?。 ??f?f为：fA?fBBA 当使用对偶变量技术时，每个波动率和资产价格还要分别采用两组对称的随
机数。用?V1?和?V2?来表示用于估计波动率时的两组随机数，?V1?中的每个数正好与?V2?中的每个数关于零对称，同样关于零对称的?S1?和?S2?则表示估计股票价格时的随机数。这样需要平行地进行六次模拟：
模拟1：波动率为常数条件下用?S1?进行； 模拟2：波动率为常数条件下用?S2?进行； 模拟3：用?S1?和?V1?进行模拟； 模拟4：用?S1?和?V2?进行模拟； 模拟5：用?S2?和?V1?进行模拟； 模拟5：用?S2?和?V2?进行模拟；
用fi表示第i次模拟得到的价格，则0.5?f3?f4?得到一个?S1?条件下的期权
价格，0.5?f5?f6?则得到?S2?条件下的期权价格，总的期权价格估计为
0.5??0.5?f3?f4??0.5?f5?f6???。如果再结合控制方差技术，则期权价格估计为0.5??0.5?f3?f4??f1?fB?0.5?f5?f6??f2?fB??。
8. 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是
解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。 9.根据题意，，，r?0.10?t?0.0833?S?4,??0.30,S?20,X?21,T?t?0.3333
股票价格 到期时间
（美元） 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0
4 0.00 0.00 0.01 0.07 0.38 1.56 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 3 0.00 0.00 0.00 0.04 0.30 1.44 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 2 0.00 0.00 0.00 0.02 0.21 1.31 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.11 1.17 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00
10. 类似于有红利的二叉树模型。将股票价格减去未来股利的现值得到S*，为其建立格点，注意应使用S*的波动率。
九．习题
1. 奇异期权的主要类型有哪些？
2. 分别为弱式路径依赖期权、强式路径依赖期权、多维期权、高阶期权举出数例。
3. 分析障碍期权的性质。
4. 为以下障碍期权写出对应的偏微分定价方程和相应的边界条件：
期权分别有上部障碍Su和下部障碍Sd，如果资产价格在到期前触及任何一个障碍，期权敲出，并获得一个即时回报??T?t?，否则到期时期权回报为
max?S?X,0?。
5. 基于某个资产价格的欧式向下敲出期权的价值与基于该资产期货价格的欧式向下敲出期权价值相等吗（该期货合约到期日与期权到期日相同）？ 6. 解释为什么几何平均有一个精确公式而算术平均无法得到精确定价。
7. 某个基于不付红利股票的欧式几何平均资产价的刚推出的看涨期权（连续观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。
8. 某个基于不付红利股票的欧式算术平均资产价的刚推出的看涨期权（离散观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。 9. 为什么亚式期权比障碍期权更易保值？
10. 利用如图9.3中的三个时间步长的树图估计某货币美式浮动执行价回溯看涨期权的价值，其中初始汇率为1.6，国内无风险利率为年5％，国外无风险利率为年8％，汇率波动率为15％，有效期18个月。
11. 某个衍生证券，如果六个月内某股票价格大于60，则支付100美元，否则为零。假设目前价格为45，无风险利率为年8％，红利率3％，波动率20％，
求期权价值。
12. 考虑一个欧式折扣看跌期权（European Rebate Put），其特征如下：如果股票价格在期权到期前下跌超过10％，期权到期时支付max?X?S,0?，否则到期时支付期权最初成本的20％。这个期权合约可以如何进行分解？
答案：
1. （1）分拆与组合： 最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。（2）路径依赖：期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。强式路径依赖期权模型中必须增加考虑路径变量而弱式路径依赖则无需增加这样的变量。（3）时间依赖：期权模型中的一些变量会随时间而变化。（4）多维期权：存在多个独立变量的期权。（5）高阶期权：即标的资产本身包括期权。 2.（1）弱式路径依赖：美式期权、障碍期权； （2）强式路径依赖：亚式期权、回溯期权； （3）多维期权：彩虹期权、资产交换期权； （4）高阶期权：复合期权、选择者期权。
3. 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息，关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的损益情况仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。
障碍期权通常比常规期权便宜，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。 4. 偏微分方程为：
?f?f122?2f?rS??S?rf 2?t?S2?S边界条件为：f?S,T??max?ST?X,0? 和f?Sd,t??f?Su,t????T?t?
5. 不相等，如果在期权有效期内，期货价格高于现货价格，可能现货价格会触及障碍水平而被敲出，但期货价格则可能不会触及障碍水平。
6. 这是因为一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。但是它们的算术平均值则不然。这样，对几何平均期权，可以通过转换波动率和红利率，仍然利用布莱克－舒尔斯公式得到解析解，而算术平均则只能使用近似方法或是数值方法求解。
7. ?*?0.17，q?0.0325，c?1.54 8. 运用二阶矩近似法计算，M1?e?0.05?0.5?1??300.05?0.5?30.378，M2?936.9，则