6. 设(?,?)的联合密度函数为 当1?m?n时
P{?1?m,?2?n}?P{??m,??n?m}?P{??m}P{??n
p(x,y)?cxy2,0?x?2,0?y?1.
试求： （1）常数
c；（2）：?,?至少有一个小于12的概率.
解： 由联合密度函数的规范性知：
?210?0cxy2dydx?1
即
?2cx03dx?1 ?2c3?1
解得c?32．
??(?,?)的联合密度函数为
p(x,y)?32xy2 （2）?,?至少有一个小于12的概率p为：
p?P{??12}?P{??12}?P{??112,??2}
1111??2130?xy2dydx??2?23xy2dxdy??2?230xy22002002dxxy
1111??2x2y3|1234y2x2|2300dx??0dy??22004y2x2|0dy
?23128 7. 在可列重伯努利试验中，以?i表示第i成功的等待时间，试求
(?1,?2)的：
1）
联合分布; (2) 边缘分布.
（注：?1表示第一次成功的等待时间，?2表示第二次成功的等待时间，???1??2表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根
据无记忆性，?服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根据题目要求，本题解答如下 解：(1)设一次试验中成功的概率为
p 失败的概率为q；
因为?1,?2服从几何分布具有无记忆性所以：
11
?qm?1pqn?m?1p?qn?2p2
(2)边缘分布
a. ?1的边缘分布：
根据边缘分布的定义当?1取值为m时的边缘分布．即让?2遍历所有可能的值m?1,m?2,?n于是有：
P{?m?11?m}?qp2?qmp2???qn?2p2
?i??n?2qip2?pqm?1
m?1即?1的边缘分布为
pm.?pqm?1(1?m)
b. ?2的边缘分布：
当第二次成功出现在第
n次时 ，即让?1遍历可能的值
1,2,3,?n?1．而?1取每一个值的概率均为 qn?2p2，于是有P{?2?n}?(n?1)qn?2p2
即?22的边缘分布为：
p.n?(n?1)qn?2p,n?2
8．设(?,?)服从区域D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的
均匀分布．试求： (1) ?的边缘分布；
（2）P{??12} 解
：
（
1
）
因
为
(?,?)服
从
区
域
{
D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的均匀分布，所以有
?1p(x,y)???,(x,y)?D
?m(D)?0,其它并且有m(D)?0?x2??dxdy??1(x?x21?y?x?10)dx?2?13?16 ?当(x,y)?D时p(x,y)?6．于是有?的边缘分布为
：
p?(x)??p(x,y)dy??6dy?6(x2?x)??x??x2
x?(0,1)
（
2
）
法
（
1
）
：
当
???2?1?1?r?2(1?r2)???1?ed? 2???02??1?2S??22???时，
P{(?,?)?D(?)}?1．
，由此得
11y117P{??}??1p?(y)dy??1?6dxdy??16(y?y)dy??2y2??1?2242?1222d???0S21?r2
法（2）： 而
111P{??}?1?P{??}?1?F()
222210. 设随机向量有联合密度函数
p(x,y,z)?xze?(x?xy?z), x,y,z?0
113F()??26(x?x2)dx??126(?x2)dx?2?
02242所以P(?1 (1).?的一维边缘密度；（2）?的一维边缘密度（3）(?,?)的二维边缘密度 解：（1）
137?)?1?2???2 244?的一维边缘密度即把yz看作常量得到：
p?(x)????0?x9. （选学） 设（?,?）为二维正态随机向量，求落入区域
???0??xze?(x?xy?z)dydz ze?zD=
{(x,y)2:
(x?a)2?22-
2r(x?a1)(y?a2)??12?+
?xe?0???0e?xydy
(y?a2)?e?x?ze?zdz
0???e?x(ze?z?e?z)|0
???22
??}内的概率．
?e?x
解：作变换，令x?a椭圆区域为
22rsin?cos?sin2??2?cos?2 ??2?????2???2?12??1则|J|????cos?,y?b??sin?，
即得?的一维边缘密
p?(x)?e?x．
??（2）?的一维边缘密度，把x,z看作常量．即
p?(y)??0??0?0xze?(x?xy?z)dxdz
记
cos?2?21?2rsin?cos??1?2?sin?2?22?s2
??xe???(x?xy)???0ze?zdzdx
则???/s，且
12??1?21?r2?1??e?(x?xy)|0 2(1?y)1(1?y)2
P{(?,?)?D(?)}?
??2x0?d??es0?12(1?r)2?2S2?d??y?0
即??的一维边缘密度:
?
12??1?21?r2??2x0(1?r2)?2(1?r2)??eS2S2p?(y)?2S1(1?y)2
（3）(?,?)的二维边缘密度此时z为常量．
0d?12
有：
p??xze?(x?xy?z)dy
0??
xze?(x?z)?x???0e?(xy)dxy
?24y(1?x?y)?2(1?x?y),0?x?1?y,0????12y(1?y)2??(1?y)2??0,其它0,??
?ze?(x?z) (x?0,z?0) （1）所以，??
即(?,?)的二维边缘密度2.6 随机变量的独立性
4．设随机变量(?,?)的联合密度函数为
1
条件下?的条件密度为 2
p??(x,y)?ze?(x?z)
1p(,y)1p?|?(y|)?212p?()21?6y(1??y)?12,0?y????132(1?)?2?0,其它?p(x,y)?24y(1?x?y)，x,y?0且x?y?1，
11
试求（1）??条件下?的条件密度；（2）??条件下?的
22
条件密度。 解：据题意知，
（2）?1??24y(1?2y),0?y???2； ?0,其它?1
条件下?的条件密度为 2?,?的边缘概率密度函数分别为
1p(x,)1?x12????24y(1?x?y)dy,0?x?1p?|?(x|)?p?(x)??p(x,y)dy??012??p()??0,其它?2?
?4(1?x)3,0?x?1， ??其它?0,1?y???24y(1?x?y)dx,0?y?1p?(y)??p(x,y)dx??0???0,其它??1?2(1?x?)?1?12,0?x???4(1?2x),0?x???122??2(1?)??其它?0,2?0,其它?。
5．设(?,?)是连续型随机变量，?有密度函数
?12y(y?1)2,0?y?1， ??0,其它?故当0?x?1时，
p(x,y)p?(x)
p1(x)??2xe??x，x?0
而?服从区间(0,?)上的均匀分布，试求?的密度函数。 解：据题意知，
p?|?(y|x)?
当0??24y(1?x?y)?6y(1?x?y),0?y?1?x,0?y?1?x????4(1?x)3??(1?x)3?1?,0?y?x??p(y|x)?0,其它0,其它 ?x???|??其它?0,由于
y?1时，
p(x,y)p?(y)p?|?(y|x)?p(x,y)，故
p?(x)p?|?(x|y)?13
?12??x???xe,0?y?xp(x,y)?p?|?(y|x)p?(x)??x?0,其它?y2???8xydx,0?y?1?4y,p?(y)??p(x,y)dx??0?????其它?0,?0,?， 因为
??2e??x,0?y?x， ??0,其它?所以，?的密度函数为
?????2e??xdx,y?0p?(y)??p(x,y)dx??y???0,其它??p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．
7.设随机向量(?,?)的联合密度函数
??e??y,y?0。 ??0,其它?6．设随机变量(?,?)的联合密度函数为
?1?xy?,|x|?1,|y|?1p(x,y)??4，
?其它?0,试证?与?不独立，但?与?是相互独立的．
证：当|22x|?1时，
????4xy,0?x,y?1（1）p(x,y)??；
0,其它?（2）
p?(x)??p(x,y)dy??1?xy1dy?，其余
?1421p?(x)?0．
同理当|当
?8xy,0?x?y?1， p(x,y)??其它?0,y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0，
试问?与?是否相互独立？为什么？
解：（1）?的边缘概率密度函数为
?0?|x|?1,0?y?1时有
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．
1???4xydy,0?x?1?2x,0?x?1现试用分布函数来证?2与?2独立．?2的分布函数记为
p?(x)??p(x,y)dy??0????其它?其它?0,?0,F1(x)，则当0?x?1时，
，
同理，?的边缘概率密度函数为
，
F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}???1??2y,0?y?1?4xydx,0?y?1?p?(y)??p(x,y)dx???0??；
??0,其它?其它??0,2同理可求得?的分布函数F2(y)，得
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?独立．
xx1dx?x2因为
（2）?的边缘概率密度函数为
?x?0?0,?F1(x)??x,0?x?1?1,x?1,?y?0?0,?F2(y)??y,0?y?1?1,y?1,?1 2???8xydy,0?x?1?4x(1?x),0?x?1p?(x)??p(x,y)dy??x??22??(?,?)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0,其它?其它??0,，
同理，?的边缘概率密度函数为
0?x?1,y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x
14
同理得当0?y?1,x?1时，F3(x,y)?y；当
同理可证 P{??P{??1,???1}?P{??1}P{???1}?10?x?1,0?y?1时
??1,??1}?P{???1}P{??1}，
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}P{???1,???1}?P{???1}P{???1}.
=
?x?xds?y?1?stdt?xy
y4所以?与?相互独立．用同样的方法可证?与?也相互独
立．但
合起来写得
?0,?x,??F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?1 0?x?1,0?y?1x?1,y?1?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所
P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{?
?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?而P{?1， 4?1}P{??1}P{??1}?不难验证F3(x,y)以?与?独立．
221， 8所以，?,?,?只两两独立而不相互独立． 2.7 随机变量函数的分布
1．设?与?相互独立，同服从参数为（1）?8．若?,?相互独立，都服从?1与1这两点上的等可能分布，令?p的几何分布，试求：
???，试证?,?,?证：由题设得
两两独立但整体不独立．
（2）???的分布． ??的分布；
解：据题意知，?与?的概率分布分别为
P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})
P{??i}?qi?1p,i?1,2,?
?P{??1,??1}?P{???1,???1}?，
11111????22222（1）
P{??j}?qj?1p,j?1,2,?
P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})
P{????k}??P{??i,??k?i}??P{??i}P{??k?i?1i?111111?P{??1,???1}?P{???1,??1}?????22 222
k?1k?1．
k?1k?1P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])i?1k?i?1??qpqp??qk?2p2?(k?1)qk?2p2，
i?1i?112{,?? 1?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?k??1,P?}P{??1}4，
????，所以
P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])(2)令?
{??k}??{??i,??k}??{??k,??j}
i?1j?1k?1k15