?的边缘密度函数为
p?(r)??p(r,t)dt???? 故U??????的密度函数为
?2?2??r(1?r2)dt,0?r?1??0??0,其它?t?0?0,?3t2p(t)??。
,t?04??(1?t)15.设?与?独立，?服从U(0,1)分布，?的分布函数为
?4r(1?r2),0?r?1； ??0,其它?F(y)?1?试求??的密度函数。
解：据题意知，
?的边缘密度函数为
p?(t)??p(r,t)dr????1y2，
y?1。
?2?1??r(1?r2)dr,0?t?2??,0?t?2???0???2?。 ??0,其它其它??0,1?的概率密度函数为
?1,0?x?1 p(x)??0,其它?14.设?,?,?有联合密度函数
?6(1?x?y?z)?4,当x?0,y?0,z?0时p(x,y,z)??其它?0,，
试求U?的概率密度函数为
?0,p(x)?F?(x)???3?2y,设Uy?1y?1
??????的密度函数．
???,V??，则
解：U的分布函数为，当t
u?x??u?xy?的反函数为?v，雅克比行列式为 ??v?y?tt?xt?x?y6?y?vF(t)????p(x,y,z)dxdydz??dx?dy?dz000(1?x?y)4x?y?z?t101vJ??
uv?12tt?2t2v2 ? ??dxdy(1?t)32?0?0(1?x?y?z)3uu1所以，p(u,v)?p?()p?(v)|J|?p?()p?(v)，
2vv|v|tt?tt1????dx?dx 32200(1?t)(1?t)(1?x)对p(u,v)关于v积分，可得
?0时F(t)?0；当t?0时有
1tt2?1???t?1(1?t)2(1?t)3对F(t)求导可得U的密度函数为，当t
?u1p??(u)??p?()p?(v)dv
??v|v|?0时p(t)?0；
要使上式被积函数不为零，当且仅当
3t2当t?0时p(t)?(1?t)4．
u??0??1?0?u?v ??v?v?1???v?121
故
，
???311?2vdv,0?u?1??1v??u11??p??(u)??p?()p?(v)dv???1?2v?3dv,u?1??uv|v|v?0,其它???
0,x?0??1x,0?x?1??2??
11??1??(x?1),1?x?22?2?1,x?2??2?3,0?u?1??2??3,u?1 ?3u其它?0,??116.设随机变量?,?独立，?服从p?的Bernoulli分布，
2（1）???的分布函数；?服从区间(0,1)上的均匀分布。试求：（2）
x?0?0,?1??x,0?x?2； ?2x?2?1,?（2）??的分布函数为
2
?2
（1）??的分布函数。 ??的分布函数；
解：据题意知，?的概率分布为
0,???P{?0,??x},?2???P{?0,??x}?P{??1,??x?F?(x)?P{???x}??222??22???1P{?0,??x}?P{?,??x?222??1,?
? pk 0 1 1/2 1/2 ?的分布函数为
y?0?0,?F(y)??y,0?y?1
?1,y?1?（1）?0,x???P{?0}P{??x},0??2???P{?0}P{??x}?P{??1}P{??x?1},1???22222???11P{?0}P{??x}?P{?}P{??x?},1??2222??1,x?
??的分布函数为
0,x?0??x?0110,??x,0?x???2P{??0,??x},0x?12???F???(x)?P{????x}??1111??x??(x?),?x?1P{??0,??x}?P{??1,??x?1},1?x?2? ??2222?1,?x1?2113??1??(x?),1?x??2222
?3 ?1,x?2?0,x?0??P{??0}P{??x},0?x?1????P{??0}P{??x}?P{??1}P{??x?1},1?x?2?1,x?2?
22
x?0?0,?11x,0?x??2?21?x?,1?x?1； ??42?x13?,1?x??242?3?1,x?2?（3）??的分布函数为
?。
1q1q?(1?q)?q(1?q)?111?()???????n1?qnn(1?q)2n(1?q)22．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为
1p(x)?e2?试求E(?)。
?|x??|?,???x??, ??0。
?|x??|0,x?0??1(x??)??xedx(令t?) 解：E(?)??F??(x)?P{???x}??P{??0,???}?P{??1,??x},0?x?1??2???1,x?1???t????e?|t|dt?? 2??t???|t|?|t|0,x?0??edt?e???2???2dt?0????。 ???P{??0}P{???}?P{??1}P{??x},0?x?1?3．试求?分布?(?,r)的数学期望。 1,x?1?
0,x?0x?0??0,?1?1x1???1??x,0?x?1???,0?x?1。
2?2?221,x?1x?1??1,
3.1 习题
1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的数学期望：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。
解：（1）?的可能取值为1,2,解：据题意知，设?服从?分布?(?,r)，则其概率密度函数为
??rr?1??x?xe,x?0， p(x)???(r)?0,x?0?则E(?)??xp(x)dx??x??0???r?(r)xr?1e??xdx
令y??x,n。
??(r)?0??r?y1()re?ydy?P{??i}?n?1n?2n?(i?1)11??????，nn?1n?(i?2)n?(i?1)n??11r?yr?yyedy??yd(e) ??00??(r)??(r)?rrrr?1?y?yedy??(r)?。 ??(r)?0??(r)?i?1,2,?,n
11n(n?1)n?1?故E(?)??i???。
nn22i?1（2）P{?n4．在长为a的线段上任意独立地取n个点，求相距最远的两点间距离的期望。
解：【法一】分别记此
11?k}?(1?)k?1?，k?1,2,?
nn?n个点为
?1,?2,?,?n，则
1k?111?k?11?k???kq??(?q)? 故E(?)??k?(1?)nnnk?1nk?1k?123
?1,?2,?,?n相互独立，且都服从区间[0,a]上的均匀分布，我
们的目的是求
E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]
而?而相距最远的两点间的距离为?2的密
为
??3????n，因此所求期望
?max(?1,?2,?,?n)和??min(?1,?2,?,?n)度函数分别为
E(?2??3????n)?n?1a。 n?1p?(y)?n[F(y)]n?1p(y)yn?11?nyn?1??n?()?,0?y?a?n,0?y?a??a??， aa??0,其它其它??0,5．设?为非负整数值的随机变量，其数学期望存在，求证
?E(?)??P{??i}。
i?1?p?(z)?n[1?F(z)]n?1p(z)证：
?P{??i}???P{??j}
i?1i?1j?i??z1??n?(1?)n?1?,0?z?a??aa?0,其它??n(a?z)n?1?,0?z?an?? a?0,其它?又
?a
?P{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{?
??iP{??i}?E(?)。
i?1?因
n?1n?1为
6．设F(x)为某非负随机变量的分布函数，试证对任s?0有
E(?)??yp?(y)dy??y???0nynanady???anann?1n?1?证：
?0xsdF(x)??sxs?1[1?F(x)]dx。
0?，
E(?)??zp?(z)dz?????a0n(a?z)z?ann?1ndz??na?a0znan?1and(a?z)?n??证： ann(n?1)n?1?07．设随机变量?的分布函数为F(x)，且?的期望存在。求
， 所以，
证
E(?)???1?F(x)?dx??F(x)dx。
??0：
???0naa(n?1))aE(??xdF(x)?xdF(x)?xdF(x)?xdF(x)??E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]???????????0??n?1n?1n?1。
【法二】n个点把区间[0,a]分成n?1段，他们的长度依次记为
?xF(x)????
由均值存在得∴ 0?00??F(x)dx?x?1?F(x)????100???1,?2,?,?n?1。因为此
n个点是随机取的，所以
????|x|dF(x)??，
?A????1,?2,?,?n?1具有相同的分布，从而有相同的期望。
而
AF(?A)??|x|dF(x)?0(当A???)，
B?1??2????n?1?a，因此
E(?1)?E(?2)???E(?n?1)?a。 n?124
0?B(1?F(B))??|x|dF(x)?0(当B???)
以
此
代
入
E(?)的计算式即得
E(?)???1?F(x)?dx??F(x)dx。
0???0∴
E(???)???max(x,y)p(x,y)dxdy
8．将长为a的棒任意折成两段，求较短一段长度的数学期望。 解：将木棒置于[0，a]区间上， 令?：棒上任意一点的坐标，则?~U(0,a)
??dx????x??xp(x,y)dy??dx?yp(x,y)dy??x??
（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）
?x???：较短一段的长度
????则????a????所
aa20aa0???2
a???a2以
??dx?(x?a)p(x,y)dy??dx?(y?a??????x
（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）
??????dy?(x?a)p(x,y)dx??dy?(y???y??y111aE???g(x)p(x)dx??g(x)dx??xdx??a(a?x)dx?0aaa42
9．设?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，计算E(|? |?1)。
?a?2????12??2e?(y?a)22?2dy?(x?a)ey??(x?a)22?2d(令(y?a)??t) ?a?1解：因为?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，故?的概率密度函数为
??????edt?t21p(x)???1?x21，
?a?????a????。
?|?|,|?|?1又因为|?|?1??
1,|?|?1?于是E(|?[法二]令U??a??a，V?，则U与V??相互独立，且都
|?1)??min(|x|,1)p(x)dx
???服从N(0,1)，
(???)?a??(U?V)。
而
??|x|p(x)dx??|x|?11|x|?1p(x)dx
p(u,v)??2?x?0?1?111dx?dx?dx 222????1?(1?x)?(1?x)?(1?x)1?(u2?v2)/2， e2??V)???????所以，E(U??max(u,v)p(u,v)dudv
?ln2??1。 2?u?v?0??vp(u,v)dudv???up(u,v)dudv
u?v?010．设随机变量
?,?独立同
N(a,?2)分布，求证
????221??u2/2[?edu?ve?v/2dv??e?v/2dv?ueu??v2????E(???)?a??证
：
[法
。
?一
]
??1???e?udu?21?，
?,?的联合密度为
故E(??(x?a)2(y?a)2?p(x,y)?ex???p?， 222??22?2???125
??)?a???。
11．设随机变量?,?相互独立，同服从几何分布G(p)，试