3.设??{ai|i?i}是集合a的一种划分，对于集合b，所有ai?b??的ai?b组成的集合是a?b的划分. 试证明之. 证 对于任意i?j，因为ai?aj??，于是 (ai?b)?(aj?b)?ai?aj?b???b??. 又因为?a
i?ii?a，所以
?(a?b)??a?b?a?b. ii i?ii?i
故{ai?b|ai?b??,i?i}是a?b的划分.
4.设集合a有两种划分?1?{ai|i?i}和?2?{bj|j?j}，问?1??2是否必是a的划分，为什么？?1??2呢? 解
划分为 取a的?1??2及?1??2均不一定是a的划分. 例如a?{a,b,c,d}，
?1?{{a},{b,c,d}}，?2?{{a},{d},{b,c}}，
这时?1??2?{{a},{d},{b,c},{b,c,d}}，?1??2?{{b,c,d}}，它们都不是a的划分.
5.证明: 设n?1，则 (1)s(n,1)?1. (2)s(n,n)?1.
(3)s(n,2)?2n?1?1. 证 (1)和(2)显然.
(3)将n个元素的集合a划分成2个块a1和a2，先将a中的第一个放在第一个块a1中，对于其余的n?1个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块
n?1?????a1中，只有两种情况发生: x?a1或x?a1，于是共有2?2?...?2?2n?1种放的
方式，但要排除所有元素都在a1中而a2为空的情形. 故s(n,2)?2 6.设a?{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j},a1?{a,b,c,d}, n?1?1. a2?{e,f,g},
a3?{d,e,g,i},a4?{d,h,j},a5?{h,i,j},a6?{a,b,c,f,h,j},分别判定下列集合是否是a的划分、覆盖: (1){a1,a2,a5}. (2){a1,a3,a5}. (3){a3,a6}. (4){a2,a3,a4}.
解 显然对于任意1?i?6，有ai??.
(1)因为a1?a2??，a1?a5??，a2?a5??且a1?a2?a5?a，所以{a1,a2,a5}是a的划分.
(2)由于f?a而f?a1?a3?a5，所以{a1,a3,a5}不是a的覆盖.
(3)因为a3?a6??，且a3?a6?a，所以{a3,a6}是a的划分. (4)由于a?a而a?a2?a3?a4，所以{a2,a3,a4}不是a的覆盖. 7.写出集合a?{a,b}的所有不同的覆盖.
解 由a得到的非空子集为{a},{b},{a,b}，于是a?{a,b}的所有不同的覆盖分别为 (1){{a,b}}. (2){{a},{b}}. (3){{a},{a,b}}. (4){{b},{a,b}}.
(5){{a},{b},{a,b}}.
【篇三：邓辉文-离散数学章节】
xt>1.1 集合的有关概念1 1.1.1 集合1 1.1.2 子集3 1.1.3 幂集4 1.1.4 n元组5 1.1.5 笛卡儿积6 习题1.16
1.2 映射的有关概念7 1.2.1 映射的定义7 1.2.2 映射的性质9 1.2.3 逆映射10 1.2.4 复合映射11 习题1.213
1.3 运算的定义及性质14 1.3.1 运算的定义14 1.3.2 运算的性质17 习题1.321
1.4 集合的运算22 1.4.1 并运算22 1.4.2 交运算23 1.4.3 补运算24 1.4.4 差运算26
1.4.5 对称差运算27 习题1.428
1.5 集合的划分与覆盖29 1.5.1 集合的划分29 1.5.2 集合的覆盖32 习题1.532
1.6 集合的对等32
1.6.1 集合对等的定义33 1.6.2 无限集合33 1.6.3 集合的基数34 1.6.4 可数集合34 1.6.5 不可数集合35 1.6.6 基数的比较35
习题1.636第2章 关系37 2.1 关系的概念37
2.1.1 ?n?元关系的定义37 2.1.2 2元关系38
2.1.3 关系的定义域和值域41 2.1.4 关系的表示42
2.1.5 函数的关系定义43 习题2.144
2.2 关系的运算46
2.2.1 关系的集合运算46 2.2.2 关系的逆运算46 2.2.3 关系的复合运算47 2.2.4 关系的其他运算51 习题2.251
2.3 关系的性质52 2.3.1 自反性52 2.3.2 反自反性53 2.3.3 对称性54 2.3.4 反对称性55 2.3.5 传递性56 习题2.358
2.4 关系的闭包59
2.4.1 自反闭包?r(r?)59 2.4.2 对称闭包?s(r?)60
2.4.3 传递闭包?t(r?)61 习题2.464
2.5 等价关系65
2.5.1 等价关系的定义65 2.5.2 等价类66 习题2.568
2.6 相容关系69
2.6.1 相容关系的定义69 2.6.2 相容类70 习题2.671
2.7 偏序关系71
2.7.1 偏序关系的定义71 2.7.2 偏序集的哈斯图73
2.7.3 偏序集中的特殊元素74 习题2.776第3章 命题逻辑78 3.1 命题的有关概念78 习题3.180
3.2 逻辑联结词80 3.2.1 否定联结词