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第二章部分习题解答
1．试证下列函数在z平面上任何点都不解析。 （1） f?z??x?y （2）f?z??Rez。
?u?v?v?u?1,?0,?0?1?y?x?y证 （1） ?x，，知f?z?在z平面上任何点都不解析。
?u?u?v?v???0?1?y?x?y（2） ?x，， 知f?z?在z平面上任何点都不解析。
2．下列函数何处可导？何处解析？
22??fz?xy?ixy
（1）
解 （1）由于
?v2?u?v?u2?x?2xy?2xy?y?y?x?x，，，?y
在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故
f?z??xy2?ix2y仅在点z?0处可导，在z平面处处不解析。
3．证明：如果函数f?z??u?iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么f?z?是常数。 (1) 在
内
；
(2)f?z?在D内解析。 (3)|f?z?|在D内是一个常数。 解 （1）的证明 由于即有
。于是
，故由引理得恒为常数, 即
在
,根据
条件
内恒为常数。
（2） 若f?z??u?iv?u?iv在区域D内解析，则
?u???v??u?u???v??v???????x?x ?x?y?y， ?y又f?z??u?iv在区域D内解析，则
1
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?v?u?v?u????x ?x?y，?y结合（1）、（2）两式，有
?u?u?v?v????0?x?y?xvy，
故u,v在D内均为常数，分别记之为 u1?C1,u2?C2?C1,C2为实常数?， 则 f?z??u?iv?C1?iC2?C为一复常数。
222（3）若|f?z?|在D内为一常数，记为C1，则u?v?C1，两边分别对于x和y求
偏导，得
?v??u2u?2v?0???x?x??u?v?2u?2v?0??y??y
由于f?z?在D内解析，满足C-R条件
?u?v?u?v?,???x?y?y?x
代入上式又可写得
?u??uu?v?0???x?y??u?u?v?u?0??x?y?
?u?v?v?v??0??0?x?y?xvy解得。同理，可解得故u,v均为常数，分别记为
u?C1,v?C2，则f?z??u?iv?C1?iC2?C为一复常数。
4．如果
f?z??u?iv是一解析函数，试证：if?z?也是解析函数。
证 （1）f?z??u?iv,f?z??u?iv,if?z??v?iu,
if?z??v?iu??i, ?u?iv???if?z? ,
可知if?z?为一解析函数。
5．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是
2
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?v1?u?u1?v???r?? ?rr??，?r证 令x?rcos?,y?rsin?，利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件，得
?u?r??u?xcos???u?ysin?
?v????v?x??rsin????v?yrcos???u?yrsin???u?u?xrcos??r?r
?u1?v即
?r?r??。又 ?u?u????x??rsin????u?yrcos?
?v?r??v?xcos???v?u?u?ysin????ycos???xsin?
??1????u?ur???yrcos???xrsin??????1?ur??
总之，有
?u1?v?v?r?r????1?u，?rr??。 6．设z?x?iy，试求
|i?2z|z2（1）
e （2）|e| i?2zi?2x?i2xy?2x?i?1?2?y?2x解 （1）|e|?|e|?|e|?eez2?e?x?iy?2?ex2?y2?i2xy?ex2?y2（2）
1（3） Re{ez}
1x?iyx?Re{ex?iy}?Re???ex2?y2???Re??ex2?y2e?iy?x2?y2????????????3
Re?1?z??3）
?e??? （
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x?yy???x2?y2?????Re?ecos?isin2222???x?yx?y??????
x?ex2?y2cosyx2?y2
7.下列关系是否正确？
zz（1）e?e； （2）cosz?cosz； （3）sinz?sinz
zxxx?iyze?e(cosy?isiny)?e(cosy?isiny)?e?e解（1）
?eiz?e?izcosz???2?（2）?1iz??e?e?iz?1e?iz?eiz?cosz?22?。
????1iz1iz1?iz?izsinz?e?e?e?e?(e?iz?eiz)2i?2i2i（3）
????1ize?e?iz?sinz=2i。
???e?8．试证：对任意的复数z及整数m有
证 对任意的复数z，当m为自然数时，
zm?emz
?e? 当m?0时，
zm?ez?ez?ez?emz
m个
?e?zmz0?1?e0z。
当m??n?n为自然数?时，
?e???e?z?n??e?1zn?1?nzmz?e?eenz
9．找出下列方程的全部解。
z（1）1?e?0； （2）sinz?cosz?0 z解（1）原方程等价于e??1，于是它的解为：
z?Ln??1??ln|?1|?i?arg??1??2k???i??1?2k? k?0,?1,?2,?
（2）由于
4
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sinz??cos,eiz?e?iz1??eiz?e?iz2i2，故
??e2iz?1??ie2iz?1
e2iz?1?i1?i
??z?11?1?i?1Ln???Ln??i???ln|?i|?i?arg??i??2k???2i?1?i?2i2i i??1??????2k????k???,k?0,?1,?2,?2i?24???
i??10．设z?re，试证
Re?ln?z?1???证 由于
1ln1?r2?2rcos?2
??ln?z?1??lnrei??1?ln?rcos??irsin??1?
???ln??rcos??1?2?r2sin2??iarg?rcos??1?irsin??
1lnr2?1?2rcos??iarg?rcos??1?irsin??2
??故
Re?ln?z?1???i1ln1?r2?2rcos?2??
i??1?i11．求3和的值。
iLn3i?ln3?i?arg3?2k????2k?iln33?e?e?ee解：
?e?2k??cosln3?isinln3?,k?0,?1,?2,?
?1?i?i?eLn?1?i??ei?ln|1?i|??i?arg?1?i??2k???eiln2??????2k??2?4??e?1?????2k??4?ln2ln2???isin?cos?22??， k?0,?1,?2,?
12．若函数f(z)在上半z平面内解析，试证函数f?z?在下半z平面内解析。 证1 对于任意的下半z平面上的一点z。则点z是上半z平面上的点， f(z)?u(x,y)?iv(x,y),
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