2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
??x＝asec φ，x2y2
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是?
ab?y＝btan φ?
(φ
为参数)．规定参数φ的取值范围为φ∈ (1)双曲线?焦点坐标是________．
?x＝23tan α，
?y＝6sec α
(α为参数)的
x＝tan t，??
(2)将方程?1－cos 2ty＝??1＋cos 2t
2
(t为参数)化为普通方程是________．
(1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去t.
?x＝23tan α，
(1)将?
?y＝6sec α
化为－＝1，
3612
y2x2
可知双曲线焦点在y轴，且c＝36＋12＝43， 故焦点坐标是(0，±43)．
1－cos 2t2sint2
(2)由y＝＝2＝tant，
1＋cos 2t2cost将tan t＝x代入上式，得y＝x，即为所求方程． (1)(0，±43) (2)y＝x
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ，则焦点在y轴上．
??x＝sec θ，
1．如果双曲线?
?y＝6tan θ?
2
2
(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
1
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6
??y＝2t，
2．过抛物线?2
??x＝t
(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：化为普通方程是x＝，即y＝4x，∴p＝2.
4∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8
双曲线、抛物线参数方程的应用 连接原点O和抛物线2y＝x上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．
设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，
??x＝2t，
抛物线的参数方程为?2
??y＝2t2y2
2
??x0＝4t，
(t为参数)．用中点公式得?2
??y0＝4t.
122
变形为y0＝x0，即P点的轨迹方程为x＝4y.
4此曲线为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
3．设P为等轴双曲线x－y＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|.
2
2
2
证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线
2
??x＝sec θ，
的参数方程为?
?y＝tan θ?
(θ为参数)．
则：(|F1P|·|F2P|) ＝
＝(sec θ＋22sec θ＋2＋tanθ)(sec θ－22sec θ＋2＋tanθ) ＝(2sec θ＋1)(2sec θ－1) ＝(2sec θ－1).
又|OP|＝sec θ＋tanθ＝2sec θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|.
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
4．如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．
解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为(x，y)， (2pt1，2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且t1t2≠0)，则 ―→―→
OM＝(x，y)，OA＝(2pt21，2pt1)，
―→―→22OB＝(2pt22，2pt2)，AB＝(2p(t2－t1)，2p(t2－t1))． ―→―→因为OA⊥OB， ―→―→
所以OA·OB＝0， 即(2pt1t2)＋(2p)t1t2＝0， 所以t1t2＝－1.① ―→―→因为OM⊥AB， ―→―→
所以OM·AB＝0，
即2px(t2－t1)＋2py(t2－t1)＝0， 所以x(t1＋t2)＋y＝0， 即t1＋t2＝－(x≠0)．② ―→2
因为AM＝(x－2pt1，y－2pt1)， ―→
MB＝(2pt22－x,2pt2－y)，
3
2
22
2
2
2
2
yx且A，M，B三点共线， 所以(x－2pt1)(2pt2－y) ＝(y－2pt1)(2pt2－x)，
化简，得y(t1＋t2)－2pt1t2－x＝0.③ 将①②代入③，得到y?－?＋2p－x＝0， 即x＋y－2px＝0(x≠0)， 这就是点M的轨迹方程．
课时跟踪检测(十一)
一、选择题
??x＝t－1，
1．曲线?
??y＝2t＋1
2
2
2
2
2
?y??x?
(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)＝4(x＋1)， 该曲线为抛物线y＝4x向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)．
??x＝4sec θ，
2．圆锥曲线?
?y＝3tan θ?
2
2
(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)
?x＝4sec θ，?
解析：选C 由?
??y＝3tan θ
(θ为参数)得 －＝1，
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x2y2
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
??x＝e＋e，
3．方程?t－t?y＝e－e?
t－t
(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 解析：选B ∵x－y＝e＋2＋e且x＝e＋e≥2e·e＝2. ∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x－y＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1 B．2 C.3 D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x－y＝1，∴a＝b＝1.
2
2
2
2
2
2
2t－2t－(e－2＋e
2t－2t)＝4.
t－tt－t 4