江苏省无锡市天一中学2018届高三4月月考（数学）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
21．设集合A?{xx?x?12?0},B?{x2?x?0}，则A?B?
▲ ．2．如果复数(m2?i)(1?mi)是实数，则实数m? ▲ ． 3．若命题“?x?R，使得x2?(a?1)x?1?0”为假命题，则实数a的范围 ▲ ．
4．某算法的程序框图如图，若输入a?4,b?2,c?6，则输出的结果为 ▲ ．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 ▲ ．
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1?角A的大小为 ▲ ．
7．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)?(a+3b)=33，则a与b的夹角为 ▲ ． 8．已知双曲线C:x2?y2?1(a?0,b?0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它
ab的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 ▲ ．
9．已知数列?an?的前n项和Sn=n—7n, 且满足16＜ak+ak+1＜22, 则正整数
2
tanA2c?，则tanBb22k= ▲ ．
10．在棱长为1的正方体ABCD?A1D1的体积为 ▲ ． 1BC11D1中，四面体ACB11．曲线y?x3?ax?1的一条切线方程为y?2x?1，则实数a= ▲ ． 12．已知函数f(x)???log2(x?1),x?0,??x?2x,x?0.2 若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
113时，|ax?2x|?恒成立，则实数a的取值范围为 ▲ ． 22*14．已知?ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b?m(m?N)，则符
13．当0?x?合条件的三角形共有 ▲ 个（结果用m表示）．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
·b，15．(本小题满分14分) 设函数f(x)?a其中向量a?(m,cos2x)，b?(1?sin2x,1)，
?π?
x?R，且y?f(x)的图象经过点?，2?．（1）求实数m的值；（2）求f(x)4??
的最小正周期；（3）求f(x)在[0，
?]上的单调增区间． 216．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD中，BD?CD，正方形
ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.
（1）求证：GH//平面CDE；
（2）求证：BD?平面CDE．
17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．
18．(本小题满分16分) 已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0； （1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．
19．(本小题满分16分)已知数列?an?的首项a1?33an，an?1?,n?1,2,52an?1．
?1?11（1）求证：数列??1?为等比数列；(2) 记Sn???a1a2?an?整数n．
1，若Sn?100，求最大正an（3）是否存在互不相等的正整数m,s,n，使m,s,n成等差数列且am?1,as?1,an?1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
20．(本小题满分16分) 已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x)?g(1?x)，g(x)的最小值为?919且g(1)??1．令f(x)?g(x?)?mlnx?（m?R,x?0）． 828（1）求g(x)的表达式；
（2）若?x?0使f(x)?0成立，求实数m的取值范围； （3）设1?m?e，H(x)?f(x)?(m?1)x，
证明：对?x1、x2?[1,m]，恒有|H(x1)?H(x2)|?1．
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
21．设集合A?{xx?x?12?0},B?{x2?x?0}，则A?B?
（2,3） ．2．如果复数(m2?i)(1?mi)是实数，则实数m? －1 ． 3．若命题“?x?R，使得x2?(a?1)x?1?0”为假命题，则实数a的范围
(?1,3) ．
4．某算法的程序框图如图，若输入a?4,b?2,c?6，则输出的结果为
6 ．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为
2 ． 3tanA2c?，则tanBb6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1?角A的大小为
? ． 3227．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)?(a+3b)=33，则a与b的夹角为 120? ． 8．已知双曲线C:x2?y2?1(a?0,b?0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它
ab的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 2?1 ．
2
9．已知数列?an?的前n项和Sn=n—7n, 且满足16＜ak+ak+1＜22, 则正整数k= 8 ． 10．在棱长为1的正方体ABCD?A1D1的体积为 1BC11D1中，四面体ACB311．曲线y?x?ax?1的一条切线方程为y?2x?1，则实数a= 2 ．
1 ． 312．已知函数f(x)???log2(x?1),x?0,2??x?2x,x?0.的取值范围是 (0,1) ．
1113313．当0?x?时，|ax?2x|?恒成立，则实数a的取值为 ??a? ．
2222*14．已知?ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b?m(m?N)，则符
m(m?1)合条件的三角形共有 个（结果用m表示）．
2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
·b，15．(本小题满分14分) 设函数f(x)?a其中向量a?(m,cos2x)，b?(1?sin2x,1)，
若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m?π?x?R，且y?f(x)的图象经过点?，2?．（1）求实数m的值；（2）求f(x)的最小正周
?4?
期；（3）求f(x)在[0，
?]上的单调增区间． 2解：（1）f(x)?a?b?m(1?sin2x)?cos2x， ………………3分
∵图象经过点?，2?，
?π
?4
??
∴f?π?π?π???m1?sin?cos?2，解得m?1． ………………5分 ???2?2?4??π??2sin?2x???1， ………………7分
4??（2）当m?1时，f(x)?1?sin2x?cos2x?2??? ………………9分 2???5?] ………………11分 （3）x?[0,],2x?[0,?],∴2x??[,2444∴T?由
?4?2x??4??2,得
0?x??8 ………………13分
∴f(x)在[0，
??]上的单调增区间为[0,]. ………………14分 2816．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD中，BD?CD，
正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是
AE,DF的交点.
（1）求证：GH//平面CDE； （2）求证：BD?平面CDE．
证明：⑴G是AE,DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点， ∴?EAB中，GH//AB， ------------------------3分 ?AB//CD，∴GH//CD，
又∵CD?平面CDE,GH?平面CDE
∴GH//平面CDE -----------------------7分
⑵平面ADEF?平面ABCD，交线为AD， ∵ED?AD，ED?平面ADEF
∴ED?平面ABCD， --------------------10分 ∴ED?BD，
又∵BD?CD，CD?ED?D
∴BD?平面CDE ----------------------14分
17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．