专题06 立体几何（理）
【热点题型】
（1）空间点线面位置关系的证明； （2）空间几何体的体积计算； （3）体积与函数的综合； （4）折叠问题。
（5）空间角和空间距离的计算。 【最新模拟考，联考试题】
1、已知斜三棱柱ABC?A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60?角,AA1?A1C,AC?BC,AC?4,BC?2.
（1）求证：平面ABB1A1?平面A1BC； （2）求二面角B?A1B1?C的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】
证明：（1）Q平面ACC1A1?平面ABC且平面ACC1A1I平面ABC=AC 且BC?AC?BC?平面ACC1A1
又?AA1?A1C?AA1?平面A1BC
6 4QAA1?平面ABB1A1?平面ABB1A1?平面A1BC
（2）已知斜三棱柱ABC?A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成
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o60???A1AC?60
又QAA1?A1C，A1A?2 如图建立空间直角坐标系
0，0),B(0，2，0),A(4,0,0) A1(3，0，3),C(0，uuuruuuur由AB?A1B1,得B1(?1，2，3)
设平面BA1B1,平面CA1B1的法向量分别为
uruuruuurn1?(x1,y1,z1)，n2?(x2,y2,z2)BA1?(3,?2,3)， uuuruuuruuurBB1?(?1,0,3),CA1?(3,0,3),CB1?(?1,2,3)
uruuuruuruuur??uruur?n1?BA1?0?n2?CA1?0 得n1?(3,6,3)；?u 得n2?(?1,?2,3) uruuur?uruuur???n1?BB1?0?n2?CB1?0uuruurn1.n26ruur? 故cos??u4n1n2二面角B?A1B1?C的余弦值为6。 4
2、如图（1），等腰梯形ABCD，AB?2，CD?6，AD?22，E、F分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图（2）．
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（1）求证：平面PEF?平面ABEF；
（2）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）77． 【解析】
（1）E、F是CD的两个三等分点，易知，ABEF是正方形，故BE?EF， 又BE?PE，且PEIEF?E，∴BF?面PEF 又
面ABEF，∴平面PEF?平面ABEF．
（2）过P作PO?EF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO?面ABEF， 又PO，EF，OG所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，
则A?2,?1,0?，B?2,1,0?，F?0,?1,0?，P?0,0,3?，
∴uAFuur???2,0,0?，uFPuur??0,1,3?，uABuur??0,2,0?，uPAuur??2,?1,?3?，
设平面PAF的法向量为n1??x1,y1,z1?，
则?uuur?n1?AF??u?0，∴??2x?uur?1?0?n?FP?0??y?3z?0，n1??0,?3,1?，
111设平面PAB的法向量为n2??x2,y2,z2?，
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