§1.3全称量词与存在量词
1.3.1量词
学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.
知识点一全称量词、全称命题
思考观察下面的两个语句,思考下列问题: P:m≤5;
Q:对所有的m∈R,m≤5.
(1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系? (2)常见的全称量词有哪些?(至少写出五个).
答案(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 梳理全称量词与全称命题 全称量词 符号 全称命题 形式 知识点二存在量词、存在性命题
思考观察下面的两个语句,思考下列问题: P:m>5;
Q:存在一个m∈Z,m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系? (2)常见的存在量词有哪些?(至少写出五个)
答案(1)语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
所有、任意、一切、每一个 ?x 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为“?x∈M,p(x)” 梳理存在量词与存在性命题
存在量词 符号表示 存在性命题 形式 特别提醒:在存在性命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略.
1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(×)
2.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(√) 3.全称命题中一定含有全称量词,存在性命题中一定含有存在量词.(×)
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 ?x 含有存在量词的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立”,可用符号简记为“?x∈M,p(x)”
类型一判断命题的类型
例1将下列命题用“?”或“?”表示. (1)实数的平方是非负数;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根; (3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α. 考点量词与命题
题点全称(存在性)命题的符号表示 解(1)?x∈R,x2≥0.
(2)?x<0,ax2+2x+1=0(a<1). (3)若?a?α,l⊥a,则l⊥α.
反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤 (1)判断此语句是否为命题.
(2)看命题中是否含有量词,并判断该量词是全称量词还是存在量词. (3)对不含或省略量词的命题,要根据命题涉及的实际意义进行判断. 跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题. (1)若a>0且a≠1,则对任意x,ax>0;
(2)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tanx1<tanx2; (3)存在实数T,使得|sin(x+T)|=|sinx|; (4)存在实数x,使得x2+1<0.
解(1),(2)含有全称量词“任意”,是全称命题.(3),(4)含有存在量词“存在”,是存在性命
题.
类型二判断命题的真假 例2判断下列命题的真假. 1
(1)?x∈R,x2-x+1>;
2
(2)?α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ; (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数; (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示; (5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立. 考点全称(存在性)命题的真假性判断 题点全称(存在性)命题真假的判断 11
解(1)真命题,∵x2-x+1-=x2-x+ 22111
x-?2+≥>0, =??2?441
∴x2-x+1>恒成立.
2
ππ
(2)真命题,例如α=,β=,符合题意.
42(3)真命题,函数f(x)=0既是偶函数又是奇函数.
(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为2,它的长度就不是有理数. (5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思与感悟1.要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
2.要判定存在性命题“?x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在性命题就是假命题.
跟踪训练2判断下列命题的真假. (1)有一些奇函数的图象过原点; (2)?x∈R,2x2+x+1<0; (3)?x∈R,sinx+cosx≤2. 考点全称(存在性)命题的真假性判断 题点全称(存在性)命题真假的判断
解(1)该命题中含有“有一些”,是存在性命题.如y=x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2)该命题是存在性命题. 177
x+?2+≥>0, ∵2x2+x+1=2??4?88∴不存在x∈R,使2x2+x+1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称命题.
π
x+?≤2恒成立, ∵sinx+cosx=2sin??4?∴对任意实数x,sinx+cosx≤2都成立,故该命题是真命题. 类型三全称命题、存在性命题的应用
例3(1)若命题p:存在x∈R,使ax2+2x+a<0,求实数a的取值范围;
(2)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围. 解(1)由ax2+2x+a<0,得a(x2+1)<-2x, 2x2
∵x2+1>0,∴a<-2=-,
1x+1
x+x12
当x>0时,x+≥2,∴-≥-1,
x1
x+x12
当x<0时,x+≤-2,∴-≤1,
x1
x+x2∴-的最大值为1.
1x+x
又∵?x∈R,使ax2+2x+a<0成立, ∴只要a<1,∴a的取值范围是(-∞,1).
(2)①当m+1=0即m=-1时,2x-6<0不恒成立. ②当m+1≠0,则
?m+1<0,?m<-1,??由?得? 2
??Δ<0,Δ=?m-1?-4?m+1?·3?m-1?<0,??
m<-1,??13即?综上,m<-. 1311m<-或m>1,?11?
反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别. 跟踪训练3已知命题p:“?x∈R,sinx<m”,命题q:“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围. 考点简单逻辑联结词的综合应用