§1.3全称量词与存在量词
1.3.1量词
学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一全称量词、全称命题
思考观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ (2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．
答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等． 梳理全称量词与全称命题 全称量词 符号 全称命题 形式 知识点二存在量词、存在性命题
思考观察下面的两个语句，思考下列问题： P：m>5；
Q：存在一个m∈Z，m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？ (2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
所有、任意、一切、每一个 ?x 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)” 梳理存在量词与存在性命题
存在量词 符号表示 存在性命题 形式 特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√) 3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．(×)
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 ?x 含有存在量词的命题 “存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
类型一判断命题的类型
例1将下列命题用“?”或“?”表示． (1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根； (3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α. 考点量词与命题
题点全称(存在性)命题的符号表示 解(1)?x∈R，x2≥0.
(2)?x＜0，ax2＋2x＋1＝0(a＜1)． (3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.
反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤 (1)判断此语句是否为命题．
(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词． (3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断． 跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题． (1)若a＞0且a≠1，则对任意x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2； (3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sinx|； (4)存在实数x，使得x2＋1＜0.
解(1)，(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)，(4)含有存在量词“存在”，是存在性命
题．
类型二判断命题的真假 例2判断下列命题的真假． 1
(1)?x∈R，x2－x＋1＞；
2
(2)?α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． 考点全称(存在性)命题的真假性判断 题点全称(存在性)命题真假的判断 11
解(1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋ 22111
x－?2＋≥＞0， ＝??2?441
∴x2－x＋1＞恒成立．
2
ππ
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
42(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟1.要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
2．要判定存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2判断下列命题的真假． (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)?x∈R,2x2＋x＋1<0； (3)?x∈R，sinx＋cosx≤2. 考点全称(存在性)命题的真假性判断 题点全称(存在性)命题真假的判断
解(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在性命题． 177
x＋?2＋≥>0， ∵2x2＋x＋1＝2??4?88∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0. 故该命题是假命题． (3)该命题是全称命题．
π
x＋?≤2恒成立， ∵sinx＋cosx＝2sin??4?∴对任意实数x，sinx＋cosx≤2都成立，故该命题是真命题． 类型三全称命题、存在性命题的应用
例3(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解(1)由ax2＋2x＋a<0，得a(x2＋1)<－2x， 2x2
∵x2＋1>0，∴a<－2＝－，
1x＋1
x＋x12
当x>0时，x＋≥2，∴－≥－1，
x1
x＋x12
当x<0时，x＋≤－2，∴－≤1，
x1
x＋x2∴－的最大值为1.
1x＋x
又∵?x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立， ∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．
(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立． ②当m＋1≠0，则
?m＋1<0，?m<－1，??由?得? 2
??Δ<0，Δ＝?m－1?－4?m＋1?·3?m－1?<0，??
m<－1，??13即?综上，m<－. 1311m<－或m>1，?11?
反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别． 跟踪训练3已知命题p：“?x∈R，sinx＜m”，命题q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围． 考点简单逻辑联结词的综合应用