题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围 解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题． 因为“?x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1. 又因为“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题， 所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2. 综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).
1．下列命题是全称命题的个数为________． ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③四边形的内角和是360°. 答案2
解析①③是全称命题．
2．下列命题中，不是全称命题的是________．(填序号) ①任何一个实数乘以0都等于0； ②自然数都是正整数； ③每一个向量都有大小；
④一定存在没有最大值的二次函数． 答案④
解析④是存在性命题．
3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1
解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，
b]且x1
4．存在性命题“?x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”“假”) 答案假
解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．
5．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________． 答案[2,6]
解析由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假． 3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则存在性命题为真，否则命题为假．
一、填空题
1．下列命题为存在性命题的是________．(填序号) ①奇函数图象关于原点对称； ②有些实数的平方是0；
③末位数字为偶数的整数能被2整除； ④有一个向量a，其方向不能确定． 答案②④
解析依据存在性命题概念知，只有②④符合题意．
2．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为________．(填序号) 答案①②④
解析①所有无理数都是实数，为真命题； ②显然为真命题； ③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题． 3．下列全称命题中真命题的个数为________． ①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. 答案3
解析①②③为真命题． 4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) 答案①②③④⑤
解析①是全称命题，是真命题； ②是全称命题，是真命题；
③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题； ④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题； ⑤是存在性命题，是真命题；
⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 5．下列存在性命题是假命题的是________．(填序号) ①存在x∈Q，使2x－x3＝0； ②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0； ③有的素数是偶数； ④有的有理数没有倒数． 答案②
13
x＋?2＋>0恒成立． 解析对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝??2?4
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①?x∈R，f(x)≤f(x1)； ②?x∈R，f(x)≥f(x1)； ③?x∈R，f(x)≤f(x1)； ④?x∈R，f(x)≥f(x1)． 答案③
解析∵x1是方程2ax＋b＝0的解， b
∴x1＝－，
2a又∵a>0，
∴f(x1)是y＝f(x)的最小值，
∴f(x)≥f(x1)恒成立．
7．已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________． 答案(－∞，－1)
解析由题意得Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
8．?x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，则实数m的取值范围是________． 答案[0,1)
解析由题意得不等式mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，
??m>0，
当m＝0时，显然成立，当? 2
??－4m?－4m?m＋3?<0，?
即当0 9．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案[－16,0] 解析由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题， ∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0. 1 10．已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 2答案(－1,3) 1 解析原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0， 2 1 由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2 211．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案[e,4] 解析由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；?x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围为[e,4]． 二、解答题 12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在一条直线，其斜率不存在； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； 1(3)存在实数x，使得2＝2. x－x＋1 解(1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题． (2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．