概率论与数理统计课堂笔记(经管类)

自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记

前 言

概率论与数理统计是经管类各专业的基础课,概率论研究随机现象的统计规律性,它是本课程的理论基础,数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据,建立有效的统计方法,进行统计推断。 概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章,重点第一、二章,数理统计包括样本与统计量,参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。 预备知识 (一)加法原则 引例一,从北京到上海的方法有两类:第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 【答疑编号:10000101针对该题提问】 解:从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则: 办一件事,有m类办法,其中: 第一类办法中有n1种方法; 第二类办法中有n2种方法; …… 第m类办法中有nm种方法;

(二)乘法原则 引例二,从北京经天津到上海,需分两步到达。 第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种? 【答疑编号:10000102针对该题提问】 解:从北京经天津到上海的交通方法共有: ①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。 一般地有下面的乘法原则: 办一件事,需分m个步骤进行,其中: 第一步骤的方法有n1种; 第二步骤的方法有n2种; …… 第m步骤的方法有nm种;

则办这件事共有种方法。

(三)排列(数):从n个不同的元素中,任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数,记作 排列数

的计算公式为:

(四)组合(数):从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组

合数,记作

组合数

或。

的计算公式为

例 组合数有性质 (1)

,(2)

如:=45

,(3)

例如: 例一,袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种? 【答疑编号:10000103针对该题提问】 解:任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数 (种) 例二,袋中五件不同正品,三件不同次品(√√√√√×××)从中任取3件,求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种? 【答疑编号:10000104针对该题提问】 解:第一步在5件正品中取2件,取法有

(取(

种,种

) 有 )

第步在3件次品中1件取法

由乘法原则,取法共有10×3=30(种)

第一章 随机事件与随机事件的概率 §1.1

随机事件

引例一,掷两次硬币,其可能结果有: {上上;上下;下上;下下} 则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现,也可能不出现的。 引例二,掷一次骰子,其可能结果的点数有: {1,2,3,4,5,6} 则出现偶数点的事件A,点数≤4的事件B都是可能出现,也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见,有些事件在一次试验中,有可能出现,也可能不出现,即它没有确定性结果,这样的事件,我们叫随机事件。 (一)随机事件:在一次试验中,有可能出现,也可能不出现的事件,叫随机事件,习惯用A、B、C表示随机事件。 由于本课程只讨论随机事件,因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中,一定会出现的事件或者一定不出现的事件,但是有时在演示过程中要利用它,所以我们也介绍这两种事件。 必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用Ω表示必然事件。 例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。 不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而习惯用φ表示不可能事件。 例如,掷一次骰子,点数>6的事件一定不出现,它是不可能事件。 (二)基本(随机)事件 随机试验的每一个可能出现的结果,叫基本随机事件,简称基本事件,也叫样本点,习惯用ω表示基本事件。 例如,掷一次骰子,点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件,或叫样本点。 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间,记作Ω,当然Ω是必然事件。 (三)随机事件的关系 (1)事件的包含:若事件A发生则必然导致事件B发生,就说事件B包含事件A,记作。 例如,掷一次骰子,A表示掷出的点数≤2,B表示掷出的点数≤3。∴A={1,2},B={1,2,3}。 所以A发生则必然导致B发生。 显然有 (2)事件的相等:若,且就记A=B,即A与B相等,事件A等于事件B,表示A与B实际上是同一事件。 (四)事件的运算

(1)和事件:事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件,记作:

或A+B

例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3} 则和事件A+B={1,2,3,5}

显然有性质

②若,则有A+B=B

③A+A=A

(2)积事件:事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件,记作:AB或A∩B

例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3},则AB={1,3} 显然有性质:

②若,则有AB=A ③AA=A (3)差事件:事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件,记作(A-B) 例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={1,2,3},则A-B={5} 显然有性质: ① ②若,则有A-B=Φ ③A-B=A-AB

(4)互不相容事件:若事件A与事件B不能都发生,就说事件A与事件B互不相容(或互斥)即AB=Φ

例如,掷一次骰子,A={1,3,5};B={2,4} ∴AB=Φ

(5)对立事件:事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作

例如,掷一次骰子,A={1,3,5},则

事①②③

注意:A与B对立,则A与B互不相容,反之不一定成立。 例如在考试中A表示考试成绩为优,B表示考试不及格。A与B互不相容,但不对立。 下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算,其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。

图图图

1.11.21.3

表阴阴

示影影

部部件

分分

表表

示示

A A+B AB

1.5图

1.4

表1.6

阴示阴

影A影

部与部

分B分

表互表

示不示

A-B 容

事件的运算有下面的规律:

(1)A+B=B+A,AB=BA叫交换律 (2)(A+B)+C=A+(B+C)叫结合律 (AB)C=A(BC) (3)A(B+C)=AB+AC

(A+B)(A+C)=A+BC叫分配律

(4)

叫对偶律

例1,A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示以下事件。 (1)A,B,C三事件中,仅事件A发生 【答疑编号:10010101针对该题提问】 (2)A,B,C三事件都发生 【答疑编号:10010102针对该题提问】 (3)A,B,C三事件都不发生 【答疑编号:10010103针对该题提问】 (4)A,B,C三事件不全发生 【答疑编号:10010104针对该题提问】 (5)A,B,C三事件只有一个发生 【答疑编号:10010105针对该题提问】 (6)A,B,C三事件中至少有一个发生 【答疑编号:10010106针对该题提问】

(解

(((

5:

(234

1

)))

ABC

(6)A+B+C 例2.某射手射击目标三次:A1表示第1次射中,A2表示第2次射中,A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次,B1表示三次中射中1次,B2表示三次中射中2次,B3表示三次中射中3次,请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3 【答疑编号:10010107针对该题提问】

解((

23

))

1

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