高等数学练习题 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
系 专业 班 姓名 学号 一．填空题 1.若f?(x0)存在，则limf(x0??x)?f(x0)?x?x?0= ?f?(x0)
2．若f?(x0)存在limf(x0?h)?f(x0?h)hh?0= 2f?(x0) .
?x?0limf(x0?3?x)?f(x0)?x= 3f?(x0)
x3.设f?(x0)??2, 则limx?0f(x0?2x)?f(x0))?
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4.已知物体的运动规律为s?t?t2(米)，则物体在t?2秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线y?cosx上点（
322?3?3，
12）处的切线方程为
3x?2y?1??3?0，法线方程为
2x?3y???0
6．用箭头?或?表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系， 极限存在 二、选择题
1．设f(0)?0,且f?(0)存在，则limf(x)xx?0? 连续 ? 可导。
= [ B ]
12（A）f?(x) ( B) f?(0) (C) f(0) (D) 2. 设f(x)在x处可导，a,b为常数，则
limf(x?a?x)?f(x?b?x)?xf(0)
?x?0 = [ B ]
a?b2（A）f?(x) ( B) (a?b)f?(x) (C) (a?b)f?(x) (D) f?(x)
3. 函数在点x0处连续是在该点x0处可导的条件 [ B ] （A）充分但不是必要 （B）必要但不是充分 （C）充分必要 （D）即非充分也非必要
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4．设曲线y?x2?x?2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为 [ B ] （A）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
5.设函数f(x)?|sinx|，则 f(x)在x?0处 [ B ] （A）不连续。 （B）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D）可导，且导数也连续。 ?x2三、设函数f(x)???ax?bx?1x?1为了使函数f(x)在x?1处连续且可导，a，b应取什么值。
解：由于f(x)在x?1处连续, 所以 f(1)?1?f(1)?a?b?f(1)
?? 即 a?b?1
又f(x)在x?1处可导，所以
f?(1)?limx?1'x?1?2x?1?2
?a f?'(1)?limax?b?(a?b)?x?1x?1
有 a?2， b??1
故 求得 a?2， b??1
四、如果f(x)为偶函数，且f?(0)存在，证明f?(0)=0。
解：由于f(x)是偶函数, 所以有 f(x)?f(?x)
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?x?0
?limx?0f(?x)?f(0)?x?0
令x??t
?t?0lim?f(t)?f(0)?t??f?(0)
即 2f?(0)?0， 故 f?(0)?0
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五、 证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：y?a2x,y???ax22在任意(x0,y0)处的切线方程为
a22y?y0??x0(x?x0)
2ax02则该切线与两坐标轴的交点为：(0,)和(2x0,0)
所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为
12a2A???2x0?2a，（a2x02是已知常数）
故其值为定值.
高等数学练习题 第二章 导数与微分
第二节 求导法则（一）
系 专业 班级 姓名 学号
一、填空题
1．y?(2?secx)sinx, y?=tany?e?sinx2x?2cosx?1 ;
, y?=?cosxex?sinx.
xx2．y?cos(2e)，y?=?2esin(2e) ; y =3．r?xlogx?ln2, r?=log1ln2sin2xx，y?=
2xcos2x?sin2xx2
22x?
1212sin ??lntan?2，??=
1tan?2?sec2?2???2cos?2?csc?;
4. w?ln(sect?tant), w?=
secttant?sectsect?tant2?sect .
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y?arccos(x?x) y??2?11?(x?2x)22?(2x?2)
5. (1?x2)??x1?x11?x22; (
1?x?c )?=
22x1?x2 .
6. [lntan
x2]?= ; (
ln(x?1?x)?c )?=
11?x2 .
二、选择题 1．已知y=（A）
sinxxxsinx?cosxxsinx2 ，则 y?= [ B ]
(B)
xcosx?sinxx2 (C)
sinx?xsinxx2 (D)x3cosx?x2sinx
2. 已知y=（A）
1?cosxcosx?1 ，则 y?= [ C ]
1?cosx2cosx?12cosx?1 (B) (C)
11?cosx (D)
2cosx?11?cosx
3. 已知y?secex，则 y?= [ A ] （A）exsecextanex (B) secextanex (C) tanex (D)excotex
4. 已知y?ln(x?1?x2)，则 y?= [ A ] （A）
11?x2 (B) 1?x (C)
2x1?x2 (D) x?1
25. 已知y??lncotx，则 y?|x??4= [ D ]
（A）1 （B）2 （C）?1/2 (D) ?2 6. 已知 y?（A）
2(x?1)21?x1?x，则 y?= [ B ]
?2(x?1)2 (B) (C)
2x(x?1)2 (D)
?2x(x?1)2
三、计算下列函数的导数：
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(1) y?ln(3x)?y??113lnx (2) y?tan(lnx)
(3x)??13?2(lnx)3?1x y'?sec(lnx)21x
x3 ?11?13?2x3?13?2(lnx)3?1x ?1xsec(lnx)
2x3?13x?13x?2(lnx)3
(3) u?e?sin21v (4 ) y?sec3(lnx)
2解：u'?e?sin1v?(?2sin1v1v?cos1v?(?1v2)) 解：y'?3sec(lnx)sec(lxn)?tan(lnx)?21x
?1v2sin2ve?sin2 ?3xsec(lnx)tan(lnx)
3(5) y?ln(x?1?x2) (6) y?arctan1x?1?x21?x1?x
21?x y??(1?x1?x2) y??1?(11?x1?x)2(?1?)?
?11?(1?x1?x)2?2(1?x)2
?dydx
?1x?12四、设f(x)可导，求下列函数y的导数（1）y?f(e)ex
y?f(sin2xf(x) (2)x)?f(cos22x)
解：y'?f'(e)?e?exf(x) 解：y'?f'(sinx)2sinxcosx
2x?f(e)?exf(x)?f'(x) ?f'(cos)(2cosx?(?sinx))
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