第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
1. 设生存函数为s?x??1? (1)趸缴纯保费ā1的值。 30:10 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)： 100s(x)?1?xs?(x?t)1?tpx?x?t???100s(x)100?x1001A30:??vttpx?x?tdt??10010?1?1dt?0.092??1.170??101000t
11Var(Z)?2A30:?(A30:)2??v2ttpx?x?tdt?0.0922??1010?1?1dt?0.0922?0.055???1.21?70t 2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：1000A135:5??vk?1kpxqx?k?k?04dddd1d35(?362?373?384?395) l351.061.061.061.061.06查生命表l35?979738,d35?1170,d36?1248,d37?1336,d38?1437,d39?1549代入计算：
1000A135:5??vk?1kpxqx?k?k?04dddd1d35(?362?373?384?395)?5.747 l351.061.061.061.061.06法二：1000A35:5?10001M35?M40
D35M35?M4013590.22?12857.61?1000?5.747
D35127469.03查换算表1000A35:5?1000111000p35?1000A35:1?1000C35143.58?1000?1.126D35127469.03C36144.47?1000?1.203D36120110.2211000p36?1000A36:1?1000（2）
11000p37?1000A37:1?100011000p38?1000A38:1C37145.94?1000?1.29D37113167.06 C148.05?100038?1000?1.389D38106615.43C39150.55?1000?1.499D39100432.541
11000p39?1000A39:1?10001000(p35?p36?p37?p38?p39)?6.457
（3）
1112A35:5?A35:?vpA?v35136:1135:521314p35A37:?vpA?v335138:141p35A39:1?A?p35?p36?p37?p38?p39
3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） A1 。 x:201 （2） Ax:1 。改为求Ax:20 101 1??Ax?Ax:20?Ax:20Ax?20?1 1A?A?A?x:20x:20x:20?1 1?0.25?A?A0.4?x:20x:20 ??1 1??0.55?Ax:20?Ax:201?A?x:20?0.05?? 1??Ax:20?0.5 4． 试证在UDD假设条件下： (1) A1x:n?i?A1x:n 。
1 (2) āx:n?Ax:n?i? 。 A1x:n 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求qx?1。 6．
，A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：5000?RA30:20?R?其中
15000 1A30:20A130:20??vk?019k?1kp30q30?k??vk?0?k?130?kll30d30?k1?k?1??vd30?kl30?kl30k?0?1d49)
(1.06)20 ? ?1111(d30?d?d32?31l301.06(1.06)2(1.06)3M30?M50D30查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30,d30,d31,d32d49带入计算即可，或者i=0.06
以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表M30,M50,D30带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
2
11111(867?917?977??3144)23209846351.06(1.06)(1.06)(1.06) ?0.017785596R?281126.3727 1 8． 考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完
m1整年数，j是死亡那年存活的完整年的时段数。
m1A30:20?(m) (1) 求该保险的趸缴纯保费 Ax。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Ax(m)?ii(m)Ax 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35 其中
11A135:10??vk?09k?1kp35q35?k??vk?09k?135?kll35d35?k1?k?1??vd35?kl35?kl35k?0?1d) 1044(1.06) ? ?135701111(d35?d?d?236337l351.06(1.06)(1.06)M35?M4513590.22?12077.31??0.01187D35127469.03k?1kp35q35?k??vk?1070k?135?k10|A??vk?10ll35d35?k1?l35?kl35k?10?v70k?1d35?k?1d105)
(1.06)71 ? ?1111(d?d?d47?4546l35(1.06)11(1.06)12(1.06)13M4512077.31??0.09475D35127469.0311所以趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35?178.05?1895?2073.05
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：3000A50:20?1500A50:20 其中
1 1 3
A150:20??vk?019k?1kp50q50?k??vk?019k?150?kll50d50?k1?l50?kl50?vk?019k?1d50?k ? ?1111(d50?d?d52?51l501.06(1.06)2(1.06)3M50?M70D50l70 l50?1d69)
(1.06)200 1A50:20?v7070p50?v70 ?D70D50
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：4000A30?1000(IA)30?4000其中
M30R?100030 D30D30A30??vk?075k?1kp30q30?k??vk?075k?130?kll30d30?k175k?1??vd30?kl30?kl30k?0?1d105)
(1.06)76 ? ?(IA) 301111(d30?d?d32?31l301.06(1.06)2(1.06)3M30D30k?1k??(k?1)vk?075p30q30?k??(k?1)vk?075k?130?kll30d30?k175??(k?1)vk?1d30?kl30?kl30k?0?76d105)(1.06)76
? ?1123(d30?d?d32?31l301.06(1.06)2(1.06)3R30D30查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
4
解：保单1)精算式为1000Ax:n?750Ax:n?1750Ax:n?1000Ax:n?750 保单2)精算式为 1000Ax:n?800Ax:n?1 1111 11000A :x1n?1800A1?:xn2000A : x1?n
800求解得Ax:n?7/17,Ax:n?1/34，即
1 11700Ax:n?1700Ax?1700A?750 :nx:n 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定lx?110?x,0≤x≤110。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度fx?0.8?等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
Z?v?t?TlnZ lnv?S?(x?t)?lx?t1??70S(x)lx11/z12??
70lnv70?z7zfT(t)?tpx?x?t?fZ(z)?fT(g(z))g?(z)??fZ(0.8)?0.36
IA???IA??16. 已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式
xxA?( )
A.
i???2 B.
?1?i??2
C. 解：
i?i11?? D. ??1?
????d?TT(IA)x?(IA)xE(?T?1?v)?E(Tv)E((1?S)vK?S)??(T?K?S)AxE(vT)E(vK?S) ?
E((1?S)v)?SE(v)S?10(1?s)vsds?10vsds?11?d?
5