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b．假定没有人口增长或技术进步，找出稳定状态的人均资本存量、人均产出，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。
c．假定折旧率是每年10%。作一个表，表示储蓄率分别为0、10%、20%、30%等时，稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费。 （你需要用一个有指数键的计算器来计算这个问题。）使人均产出最大化的储蓄率是多少？使人均消费最大化的储蓄率是多少？
d．（本题较难）用微积分找出资本的边际产量。在你的表上增加一项——每种储蓄率下的资本的边际产量减折旧。你的表说明了什么？
解：a．对生产函数两端同除L，得：
YK0.3L0.7 ?LL令y?YL，k?KL，所以：
f?k??y?k0.3
b．稳定状态的条件为： ?k?sf?k???k?0 或者也可以写成：
k?f?k???s?s
将人均产出函数代入得： 解得：
k??k???0.3??
?s?k??????10.7
再将它代入人均产出函数得：
?s?y???????0.30.7
人均消费等于人均产出减去人均储蓄，而人均储蓄在稳定状态下等于人均资本的折旧，所以稳定状态人均消费等于人均产出减去人均资本折旧：
?s?c?f?k???k?????????0.30.7?s???????10.7
也可以这么解：
因为人均消费等于人均产出减人均储蓄，那么人均消费就是人均产出的?1?s?倍，即：
c??1?s?f?k?????1?s??k??0.3?s???1?s??????0.30.7
通过代数变化可以发现两种结果是等价的。
c．由表7-1可以清晰地看到：当储蓄率为100%时?s?1?，人均产出可以达到最大值2.68，但是此时消费为零，所有产出都用来投资了。而最大的人均消费（1.12）位于30%的储蓄率
?s?0.3?，这就是黄金律水平，在这个水平下，资本的边际产出等于折旧率，并且储蓄率等
于资本在产出中的贡献。
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表7-1 不同储蓄率下稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费
d．对生产函数Y?K0.3L0.7关于K求导，得：
K0.3L0.7?1?MPK?0.3?0.3??
K?k?0.7在表7-2中可得MPK??，在黄金律水平s?0.3时，MPK???0.1。即在没有人口增长
和技术进步的情况下，资本的边际产量等于折旧，此时达到黄金律稳定状态。当储蓄率小于黄金律水平时，MPK??，反之则MPK??。
表7-2 不同储蓄率下的资本的边际产量减折旧
4．“把较大比例的国民产出用于投资将有助于迅速恢复生产率增长，并提高生活水平。”你同意这种主张吗？请解释。
答：不同意。根据索洛模型可以知道，这样的结论不一定成立。 把较大比例的国民产出用于投资，会在短期内提高人均资本，从而提高人均产出增长率，即生产率的增长。但是，当经济达到稳定状态之后，人均产出的增长率只与技术进步率相关，而与投资率无关，也就是说提高投资率（储蓄率）并不能提高长期的人均产出增长率。
生活水平是指人均消费水平，投资率高并不一定意味着人均消费就高，要看人均资本处在什么样的水平。当人均资本高于黄金律水平时，提高投资率只会降低人均消费。而在人均资本低于黄金律水平时，虽然达到稳定状态后的人均消费水平会高于现在，但是在短期内人均消费水平仍然会下降。
因此，上述结论是不一定成立的。 5．关于消费函数的一种观点是，工人的边际消费倾向高，而资本家的边际消费倾向低。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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为了说明这种观点的含义，假设一个经济，所有的工资收入都用于消费，而所有的资本收入都用于储蓄。证明：如果生产要素赚到了自己的边际产量，这个经济就达到了黄金律资本水平。（提示：从储蓄等于投资这个恒等式开始。然后利用投资正好足够维持折旧和人口增长的稳定状态条件，以及在这个经济中储蓄等于资本收入这一事实。）
证明：令k?KL表示人均资本。因此：
?k?sf?k?????n?k
如果生产要素都获得它们的边际产量并且所有的资本收入都被储蓄起来，则人均储蓄等于MPK?k。将它代入上式，得：
?k?MPK?k????n?k
在稳定状态下，?k?0。所以有：
MPK?k????n?k或MPK????n?
即：MPK???n。
也就是说，在这个经济的稳定状态中，资本的净边际产出（MPK??）等于产出的增长率n，所以，这个经济已经达到了资本积累的黄金律水平。
6．许多人口统计学家预言，在21世纪美国的人口增长将为零，与此相比，20世纪的人口增长率是每年1%左右。用索洛模型预测人口增长的这种减缓对总产出增长和人均产出增长会有什么影响。考虑在稳定状态和在各种稳定状态之间过渡时的这一影响。
答：（1）首先考虑稳定状态。如图7-11所示，人口增长率下降，资本扩展化曲线顺时针转动，可以看出，在新的稳定状态，人均资本增大到k2?，从而人均产出也增大。 稳定状态的人均产出增长率只取决于技术进步率，因而不受人口增长率的影响。而总产出增长率等于人均产出增长率加上人口增长率，所以总产出增长率随人口增长率一起下降了。
图7-11 人口增长率的影响
（2）再考虑中间的过渡状态。从图7-11上可以看出，在人均资本水平从k1?增大到k2?的过程中，人均储蓄是大于资本扩展化的，这意味着在此过程中人均资本增长率大于零，所以人均产出增长率大于稳态时的情形。但是由于人均储蓄和资本扩展化之间的缺口越来越小，即资本深化越来越小，所以在此过程中人均资本的增长率是逐渐降低的，从而人均产出的增985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
长率也是逐渐降低的。
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总产出的增长情况不太容易从图7-11上看出来。先从稳态入手，前面已经说明，在k2?的资本水平下的人均产出增长率低于资本水平在k1?的稳态情况。这说明在此过程中总产出的增长率下降了。也可以由人均产出的增长来推知总产出的增长。在过渡过程中，人均产出的增长率一直在下降，而人口增长率从k1?之后就一直是n2，所以在过渡过程中，总产出增长率在逐渐下降。（但是在初始点k1?，当人口增长率突然下降为n2时，总产出增长率与k1?的稳态水平相比是增大了还是变小了这个问题比较复杂，如果忽略一些不重要因素，它们的大小是相当的，有兴趣的读者可以用代数方法研究一下。）
7．在索洛模型中，人口增长导致稳定状态的总产出增长，但人均产出并不增长。你认为，如果生产函数表现出规模收益递增或递减，这一点仍然正确吗？请解释。（关于规模收益递增和递减的定义，参看第3章“问题与应用”中的第2题。）
答：不正确。分析如下：
如果生产函数表现出规模收益递减，那么，当所有投入要素增加同一比例时，产出的增加将小于这一比例。比如，如果所有要素都增加为原来的2倍，产出的增加将小于2倍。如果生产函数中有一种固定的生产要素（如土地）随着经济增长变的更加稀缺，那么这种规模收益递减的现象就有可能发生。在这种情况下人口增长会导致总产出增加，但是人均产出会降低，因为可以与每个人匹配的固定要素减少了。
如果生产函数表现出规模收益递增，资本和劳动都增加为原来的2倍，产出的增加则大于2倍。随着人口增长和劳动的专业化分工有可能会出现这种情况。这时人口增长的结果是：总产出增加，人均产出也增加。因为经济可以更快地利用规模扩大带来的好处。
?1?u8．考虑失业会如何影响索洛增长模型。假定产出是根据生产函数Y?K????L???1??而
生产的。式中，K为资本；L为劳动力；u?为自然失业率。国民储蓄率为s，劳动力增长
率为n，资本折旧率为?。
a．把人均产出（y?YL）表示为人均资本（k?KL）和自然失业率的函数。描述该经济的稳定状态。
b．假定政府政策的某些变化降低了自然失业率。描述这一变化随时间的推进如何影响产出。对产出的稳定状态的影响大于还是小于立即的影响？请解释。
答：a．资本的人均产出为：
?K??1?u??L???y?L1??1??1???K?????1?u???k??1?u?? ?L??人均产出是人均资本和自然失业率的函数。从上式中可以看出：失业降低了任何一个人均资本水平对应的人均产出水平。这是因为失业使得参与生产的劳动力数量减少了，而人均产出是按劳动力总数除的。
稳定状态就是人均资本不再发生变化的状态，或者说是储蓄与资本扩展化相等的状态。因此稳定状态的人均资本量可由下式解出：
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sy?????n?k?s?k???1?u???1??????n?k?
11???s?k???1?u???????n?失业降低了资本的边际产量，所以，它如同一种不利的技术冲击，降低了稳定状态的资本存量。图7-12显示了失业对稳态的影响：自然失业率升高使储蓄曲线下移，从而使稳定状态的人均资本和人均产出下降。
图7-12 失业对稳态的影响
最后，把k?代入人均产出函数，就可以得到人均产出y?：
1???1??1??1??ss??????1?u????1?u??y????1?u?????? ????n?????n????所以，失业通过两种途径影响稳态的产出水平。一方面，对任一给定的k，失业降低了产出y；另一方面，失业还降低了稳态的k?，通过k?又降低了y?。
b．图7-13显示了人均产出y随时间的增长路径。初始经济处于稳定状态，产出为
?y??u1?，当失业率突然从u1?降低到u2?，由于人均储蓄的大幅上升，出现了大幅的资本深化，
人均资本量增加，人均产出上升。开始的时候上升速度很快，随着时间的推移，资本深化的幅度下降，但仍然大于零，因此人均资本以及人均产出仍然在增长，只是增长率在逐渐降低。
?直到人均储蓄曲线与资本扩展化曲线重新相交，经济在u2的自然失业率下重新达到均衡，
?人均产出达到y??u2?（没有考虑技术进步，如果有技术进步，只需把人均产出理解为产出与
效率劳动的比，分析是类似的）。
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