第二讲 不等式选讲
年份 卷别 Ⅰ卷 2018 考查角度及命题位置 绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题·T23 绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题·T23 命题分析 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解． 2.此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应Ⅲ卷 含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T24
含绝对值不等式的解法及应用
授课提示：对应学生用书第79页
[悟通——方法结论]
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；
(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间
用. Ⅱ卷 Ⅲ卷 分段函数图象的画法与应用·T23 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23 2017 Ⅱ卷 基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T23 Ⅲ卷 含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T23 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法、分段函数的图象·T24 2016 Ⅱ卷 含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T24 1
上的解集；
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．
(2017·高考全国卷Ⅰ)（10分）已知函数f(x)＝－x＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|
＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围． [规范解答] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
2
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x－3x－4≤0，无解；
(2分)
当－1≤x≤1时，①式化为x－x－2≤0， 从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x＋x－4≤0， －1＋17
从而1 2 (4分) 2 2 2 ????－1＋17???所以f(x)≥g(x)的解集为x?－1≤x≤ 2????? . (5分) (2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时f(x)≥2. (8分) 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]． (10分) 1．零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点； (2)划区间，去绝对值号； (3)分别解去掉绝对值号的不等式； (4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值． 2．绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式； (2)转化最值：f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a；f(x)＞a有解?f(x)max＞a；f(x)＜a有解?f(x)min＜a；f(x)＞a无解?f(x)max≤a；f(x)＜a无解? f(x)min≥a； 2 (3)得结论． [练通——即学即用] 1 1．(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)． 31 (1)当a＝2时，解不等式|x－|＋f(x)≥1； 3 111 (2)设不等式|x－|＋f(x)≤x的解集为M，若[，]?M，求实数a的取值范围． 332解析：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3. 1 ①当x≤时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0； 31 ②当＜x＜2时，原不等式可化为3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2； 33 ③当x≥2时，原不等式可化为3x－1＋x－2≥3，解得x≥，所以x≥2.综上所述，当 2 a＝2时，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}． 1 (2)不等式|x－|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x， 311 依题意知不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在[，]上恒成立， 32所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1， 1a－1≤，??3 即a－1≤x≤a＋1，所以?1 a＋1≥，??2 14 解得－≤a≤， 23 14 故所求实数a的取值范围是[－，]． 23 2．(2018·浦东五校联考)已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|. (1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集； (2)若二次函数y＝x＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围． 5＋2x?x＜－1?，?? 解析：(1)当m＝5时，f(x)＝?3?－1≤x≤1?， ??5－2x?x＞1?， 2 33 由f(x)＞2得不等式的解集为{x|－＜x＜}． 22 (2)因为y＝x＋2x＋3＝(x＋1)＋2，所以该函数在x＝－1处取得最小值2， 3 2 2 m＋2x?x＜－1?，?? 因为f(x)＝?m－2?－1≤x≤1?， ??m－2x?x＞1? 2 在x＝－1处取得最大值m－2， 所以要使二次函数y＝x＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m－2≥2，即m≥4. 含绝对值不等式的恒成立问题 授课提示：对应学生用书第80页 [悟通——方法结论] 绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|去求形如 f(x)＝|x－a|＋|x－b|或f(x)＝|x－a|－|x－b|的最值． [全练——快速解答] 1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)若不等式f(x)≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x<－1，?? 解析：(1)f(x)＝?2x－1，－1≤x≤2， ??3，x>2.当x<－1时，f(x)≥1无解； 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2； 当x>2时，由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x＋x. 而|x＋1|－|x－2|－x＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x＋|x| 3?25?＝－?|x|－?＋ 2?4?5 ≤， 4 352 且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x＋x＝. 24 4 2 2 2 2 2