函数的性质及应用（教师版）
★★★高考在考什么
【考题回放】
x?1??2e,x＜2，1．设f(x)??则f(f(2))的值为（C ） 2??log3(x?1)，x?2.A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数y=f(x)的图象与y=2的图象关于y轴对称，若y=f-1(x)是y=f(x)的反函数，则y=f-1(x2-2x)的单调增区间是（ D ）
A.[1，+∞] B.（2，+∞） C.（-∞，1 ） D.（-∞，0）
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1?x2)， |f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有(A ) A.f(x)?x1 xB.f?x??|x| C.f(x)?2x
D.f(x)?x2
4.已知函数f?x??a?11,，若f(x)为奇函数，则________。 a?2zx?1?a,a?b3?5.对a,bR,记max|a,b|=?函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(x?R)的最小值是___.
2?b,a＜b6.对定义域是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数
?f(x)g(x),当x?Df且x?Dg?h(x)??f(x),当x?Df且x?Dg?g(x),当x?D且x?Dfg?（1）若函数f(x)?。
1，g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式； x?1（2）求问题（1）中函数h(x)的值域； （3）若g(x)= f(x??)，其中?是常数，且??[???]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个?的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明。 【专家解答】：
?x2,x?(-?,1)?(1,??)? (1)h(x)=?x?1
?1,x=1?1x2 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
x?1x?1 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+
? 4??)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 44于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=?, 2g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. ★★★高考要考什么
【考点透视】
1.了解映射的概念，理解函数的概念。
2.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。 6.能够运用函数的性质，特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
【热点透析】
1. 直接通过具体函数考查某些性质
2. 以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查
3. 函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及
最值问题等综合性强的新颖试题。
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【范例1】已知函数y?1loga(a2x)?loga(ax)(2?x?4)的最大值是0，最小21值是?，求a的值。
811解：y?loga(a2x)?loga(ax)?(2?logax)(1?logax)
221311 =(logax?)2?， ∵2?x?4，且??y?o
2288?31∴当logax??即x?a2时，ymin??
28?323∴a?2?1 ∴0?a?1，又y最大值是0，，
11或x? ， ∴ 2aa∴logax?2?0或logax?1?0 即x?111
?2(或2?4) ∴a? a2a【点晴】（1）注意挖掘隐含条件“0?a?1”；（2）掌握复合函数最值问题的求解方法。
【文】函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。 解：令u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1
1当a>1时u?[,a]?[?1,??),?14?a2?2a?1?a?3或a??5(舍)
a111?1??1?当0 设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)?f(3)?0. （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)?0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)?0，故f(-1)??f(1), 从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数； 2?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)(2)由????f(4?x)?f(14?x) ?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)? f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10