《任意角的三角函数》教学设计
课题 任意角的三角函数 本节课是人教版必修四的第一章二节第一课时内容。三角函数是基本初等函数的之一，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时教材分析 在高中数学中还占有重要的地位。它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，三角函数是函数的一个特例，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的学情分析 坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用。 一、知识与技能 借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;理解记住三角函数的定义域、值域。 二、过程与方法 教学目标 通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性 三、情感与态度 激发学生探索新知欲望，学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神. 重点：三角函数的定义，定义域和值域，各会求任意角的三角函数值。 难点：任意角的三角函数定义理解。任意角的三角函数值中符号。 教学重点与难点
教教学环节 情景导入教学内容 教师教学 学生活动 设计意图 通过设置情景，引导学生在直师：同学们，生：通过老P思考初中学习的锐角三角形的三边关系说出锐师所给直角三角形，角标系中表示回答老师角，让学生尝试所提问题。 用直角坐标系 仔细观察OP的长度为特殊情况1时，这三个函数值与P点坐标这间中角的终边上的点坐标来表示锐角三角函数，为后面的任意角的三角函数做铺垫。 并取OP的长度为特殊情况1时，为引入单位圆做铺垫，渗透数形结合的思想。 旋转水车做周而复始的运动.如何用函数模型描述水车上的点p的运动轨迹？角的正弦、 余弦、正切 的数量关系。将直角放入坐标中，你会表示吗？ 复习导入 学探究新知 过程 探究新知21.将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上关系。 MP?b,OPOMcos???a,OPMPbtan???OMasin??yy1P(a,b)P(a,b)Mx以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.OOxαMA(1,0)α 1
教学过程 概念推广 概念形成 形成定义2. 单位圆中任意角的三角函数定义师：同学们前面刚刚学习了单位圆αxA(1,0)生：认真思考并分组讨论。教师深入学生利用平面直角坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，在设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Q(x,y)Q(x,y)ytan??x??0?(3)正切,记作tanα,即x正弦、余弦、正切都是以角为自变量，Rsinα以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函Rcosα数值的函数，统称为三角函数.?{?|???k?,k?Z}tanα三角函数定义域(1) 正弦,记作sinα,即sinα=y(2) 余弦,记作cosα,即cosα=xy中锐角三角函数，可以推广到单位 圆任意角的任意三角函数吗？有哪些需要注意的 小组指导，前面的知识上进行类比研究。 进一步靠近任意角的三角函数，符合学生的学习思维。 2诱思探究3.改变点Ｐ在终边上的位置，三个比值会改变吗？yP?P(a,b)引导学生利用相似三角形的知识来三角函数认识，明白的比值不对于一个确会随终边定的角，其 三角函数值上所取点上时，又可能会的位置的也就唯一确改变而改定了，表示变。注意正其三角函数切函数值的比值不会的特殊要随终边上所求。 取点的位置 的改变而改变。 题进行教学设计。 性．针对这一问点不具有任意认为这一特殊是他们可能会出现障碍，原因这一特殊位置单位圆的交点点取在终边与学生在理解将终边上任意一?OMP∽?OM?P?sin??cos??MM?MPOPOMOP?﹒?M?P?OP??OM?OP?Oxtan??MPOM?结论M?P?OM?三角函数值与点P在角的终边上的位置无关.定义推广情形二：设水车转过的角度为任意α4.设角α 是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点，点p与原点的距离r?x2?y2?0.那么①yy叫做?的正弦，即sin??rrxx②r叫做?的余弦，即cos??ryy③叫做?的正切，即tan???x?0?xx 2