Jvatnt高考数学难点突破 难点16 三角函数式的化简与求值

秋风清,秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知_________.

●案例探究

[例1]不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.

命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错.

技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.

解法一:sin220°+cos280°+3sin220°cos80°

?2<β<α<

3?123,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值413511 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2211=1-cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)

2211=1-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°

22=

-sin60°sin20°)

33113cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°

44242331=1-cos40°-(1-cos40°)=

444=1-

解法二:设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80° y=cos220°+sin280°-3cos20°sin80°,则 x+y=1+1-3sin60°=

1,x-y=-cos40°+cos160°+3sin100° 2=-2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x=y=

11,即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=. 44[例2]设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=

12的a值,并对此时的a值求y的最大值.

命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错.

技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.

a2a2?4a?2解:由y=2(cosx-)-及cosx∈[-1,1]得:

22 (a??2)?1 ?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2)

?21?4a (a?2)??111,∴1-4a=?a=?[2,+∞) 228a21故--2a-1=,解得:a=-1,此时,

2211y=2(cosx+)2+,当cosx=1时,即x=2kπ,k∈Z,ymax=5.

22∵f(a)=

[例3]已知函数f(x)=2cosxsin(x+

?3)-3sin2x+sinxcosx

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值; (3)若当x∈[

?12,

7?--

]时,f(x)的反函数为f1(x),求f-1(1)的值. 12命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目.

知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.

错解分析:在求f-1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法:等价转化,逆向思维.

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+=2cosx(sinxcos

?3)-3sin2x+sinxcosx

?3+cosxsin

?3)-3sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+∴f(x)的最小正周期T=π (2)当2x+

?3)

?3=2kπ-

?2,即x=kπ-

5? (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12],

(3)令2sin(2x+

?3)=1,又x∈[

?7?22, ∴2x+x=

?3∈[

?3?3,

2],∴2x+.

?3=

5?,则 6?4,故f-1(1)=

?4●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:

1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.

2.技巧与方法:

1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.

3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.

4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均tanα、tanβ,且α,β∈ (-

??,221A. 2),则tan

???2

的值是( ) B.-2

C.

4 3 D.

1或-2 2二、填空题

31?,α∈(,π),tan(π-β)= ,则tan(α-2β)=_________. 522?3?3?5??33.(★★★★★)设α∈(,),β∈(0,),cos(α-)=,sin(+β)=,则

444134452.(★★★★)已知sinα=sin(α+β)=_________.

三、解答题

4.不查表求值:

2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.

sin2x?2sin2x317?7?5.已知cos(+x)=,(<x<),求的值.

1?tanx541241?cos(???)??86.(★★★★★)已知α-β=π,且α≠kπ(k∈Z).求?4sin2(?)的

??443csc?sin22?最大值及最大值时的条件.

7.(★★★★★)如右图,扇形OAB的半径为1,中心角60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=3,sinα+cosβ的取值范围是

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