大题规范练(三)
“17题～19题”＋“二选一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
π
17．如图1所示，在△ABC中，B＝3，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．
图1
3
(1)若△BCD的面积为3，求CD的长； 6
(2)若DE＝2，求角A的大小.
3π
解：(1)因为△BCD的面积为3，B＝3，BC＝2， 1π32所以2×2×BDsin3＝3，解得BD＝3. 在△BCD中，由余弦定理得 CD＝BC2＋BD2－2BC×BDcos B ＝
421274＋9－2×2×3×2＝3. 6DE6
(2)因为DE＝2，所以CD＝AD＝sin A＝2sin A. BCCD
因为∠BDC＝2A，在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以
sin∠BDCsin B
2
sin 2A＝
2
，所以cos A＝π2. 2sin Asin 3
6
π
又因为A是△ABC的内角，所以A＝4. 18．近日，某市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格(单位：万元/平方米)． 房号 1 户型 A户型 0.98 B户型 1.08 2 0.99 1.11 3 1.06 1.12 4 1.17 b 5 1.10 1.26 6 1.21 1.27 7 a 1.26 8 1.09 1.25 9 1.14 1.28 (1)求a，b的值； (2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．
解：(1)由平均数计算公式，可得a＝1.16，b＝1.17.
(2)A户型售价小于100万元的房子有2套，分别记为A1，A2；B户型售价小于100万元的房子有4套，分别记为B1，B2，B3，B4. 买两套售价小于100万元的房子所含基本事件为{A1，A2}， {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1)，{A2，B2)， {A2，B3}，{A2，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共15个．
记事件A为“至少有一套面积为100平方米的住房”，则A中所含基本事件有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共9个，
93所以P(A)＝15＝5，即所买两套住房至少有一套面积为100平方米的概率为35.
π
19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF//BC，AE＝x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图2所示)．
图2
(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；
(2)将以F，B，C，D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值.
解：(1)证明：作DH⊥EF于H，连接BH，GH， 由平面AEFD⊥平面EBCF知，DH⊥平面EBCF， 而EG?平面EBCF，故EG⊥DH. 又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH. 又BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH.
而BD?平面DBH，∴EG⊥BD.
(2)∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF， ∴AE⊥平面EBCF.
由(1)知，DH⊥平面EBCF， ∴AE＝DH，
1111282
∴f(x)＝VD-＝S·DH＝S·AE＝××4·(4－x)x＝－(x－2)＋△△BFC
3BFC3BFC32338
≤3，