A . 自回归移动平均过程ARMA?p,q?理论部分
1．基本概念
ARMA?p,q?表达式为：
Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t??1?t?1?...??q?t?q （1）
写成滞后算子的形式为：
?1??L??L122?....??pLp?Yt?c??1??1L?...??qLq??t （2）
两侧同时除以?1??1L??2L2?....??pLp?，从而得到
Yt?????L??t （3）
其中
??L???1??L??L?....??L?2p12p?1??L?...??L?q1q
??c/?1??1??2?....??p?
??j?0?j??
从而可以发现，ARMA?p,q?过程的平稳性完全取决于回归参数??1,?2,...,?p?而与移动平均参数无关。即ARMA?p,q?过程的平稳性条件为特征方程：
1??1z??2z2?....??pzp?0
的根在单位圆外。
（1）变形：
Yt????1?Yt?1?????2?Yt?2????....??p?Yt?p?????t??1?t?1?...??q?t?q （4）
两边同时乘以?Yt?j???，求期望得到自协方差。当j?q时，结果方程的形式p阶自协方差形式：
?j??1?j?1??2?j?2?....??p?j?p j?q?1,q?2,..... （5）
从而解为
?j?h1?1j?h2?2j?....?hp?pj （6）
j?q时的自协方差函数比较复杂，并且不具有应用意义。不过ARMA?p,q?过程
的自相关函数都具有拖尾特征。
ARMA?p,q?过程容易出现的两个问题：
1）过度参数化问题。例如一个白噪声过程Yt??t也可以用?1??L?Yt??1??L??t表示。此时无论?取何值，利用?1??L?Yt??1??L??t都能够很好的拟合数据，因此造成估计的困难。
2）ARMA?p,q?过程的表达式（54）的滞后多项式进行因式分解得到
?1??1L??1??2L?....?1??pL??Yt?????1??1L??1??2L?...?1??qL??t （7）
假设自回归算子?1??1L??2L2?....??pLp?和移动平均算子?1??1L?...??qLq?存在共同根（公因子），同时除以公因子，得到的过程ARMA?p?1,q?1?和原来的
ARMA?p,q?过程相同。
表1 时间序列模型性质表
模型 性质 模型方程 平稳条件 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ?p?L?Yt??t Yt??q?L??t 无条件平稳 ?p?L?Yt??q?L??t ?p?z??0的根在单位圆外 ?p?z??0的根在单位圆外 可逆条件 ACF自相关 PACF偏自相关 无条件可逆 拖尾 在p截尾 ?q?z??0的根在单位圆外 在q截尾 拖尾 ?q?z??0的根在单位圆外 拖尾 拖尾 2.ARMA?p,q?的预测
2.1．预测原理（基于条件的预测）：
定义1：均方误差
对于任何预测都存在误差，我们需要给出一个损失函数来度量预测偏离一个特定的量的程度。假定一个二次损失函数，选择Yt*，使得 ?1tEYt?1?Y?*t?1t? （8）
2**最小。表达式（8）称为预测值Yt*的均方误差，记做MSEY?EY?Yt?1t?1tt?1t?1t??? ?。
2定理1：最小均方误差预测就是Xt条件下Yt?1的期望。 证明：
假定Yt*为基于条件期望以外的其他函数g?Xt?的预测Yt*?g?Xt?，其?1t?1tMSE为：
E?Yt?1?g?Xt??22?E??Yt?1?E?Yt?1Xt??E?Yt?1Xt??g?Xt???2?E??Yt?1?E?Yt?1Xt????E??E?Yt?1Xt??g?Xt???2 （9）
?2E??Yt?1?E?Yt?1Xt??????Yt?1Xt??g?Xt???2???E??Yt?1?E?Yt?1Xt????E??E?Yt?1Xt??g?Xt????2E??t?1?因为在Xt的条件下，E?Yt?1Xt?与g?Xt?都是常数，因此
E???t?1Xt??2 （10） ?E??Yt?1?E?Yt?1Xt???XtE???Yt?1Xt??g?Xt????0根据迭代期望法则，（10）的期望就是无条件期望，即
E??t?1??E??E??t?1Xt???Xt?0 （11）
??????从而，（9）变为
E?Yt?1?g?Xt???E??Yt?1?E?Yt?1Xt????E??E?Yt?1Xt??g?Xt??? （12）
222右边第一项为常数，因此如果希望均方误差最小，只有：
E?Yt?1Xt??g?Xt? （13）
定理得证。
定义2：线性投影
假设预测Yt*为Xt的线性函数，即Yt*?a?Xt。如果存在一个?，使得预测?1t?1t误差?Yt?1???Xt?与Xt，即
E???Yt?1???Xt?Xt????0? （14）
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