自回归移动平均过程范文

A . 自回归移动平均过程ARMA?p,q?理论部分

1.基本概念

ARMA?p,q?表达式为:

Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t??1?t?1?...??q?t?q (1)

写成滞后算子的形式为:

?1??L??L122?....??pLp?Yt?c??1??1L?...??qLq??t (2)

两侧同时除以?1??1L??2L2?....??pLp?,从而得到

Yt?????L??t (3)

其中

??L???1??L??L?....??L?2p12p?1??L?...??L?q1q

??c/?1??1??2?....??p?

??j?0?j??

从而可以发现,ARMA?p,q?过程的平稳性完全取决于回归参数??1,?2,...,?p?而与移动平均参数无关。即ARMA?p,q?过程的平稳性条件为特征方程:

1??1z??2z2?....??pzp?0

的根在单位圆外。

(1)变形:

Yt????1?Yt?1?????2?Yt?2????....??p?Yt?p?????t??1?t?1?...??q?t?q (4)

两边同时乘以?Yt?j???,求期望得到自协方差。当j?q时,结果方程的形式p阶自协方差形式:

?j??1?j?1??2?j?2?....??p?j?p j?q?1,q?2,..... (5)

从而解为

?j?h1?1j?h2?2j?....?hp?pj (6)

j?q时的自协方差函数比较复杂,并且不具有应用意义。不过ARMA?p,q?过程

的自相关函数都具有拖尾特征。

ARMA?p,q?过程容易出现的两个问题:

1)过度参数化问题。例如一个白噪声过程Yt??t也可以用?1??L?Yt??1??L??t表示。此时无论?取何值,利用?1??L?Yt??1??L??t都能够很好的拟合数据,因此造成估计的困难。

2)ARMA?p,q?过程的表达式(54)的滞后多项式进行因式分解得到

?1??1L??1??2L?....?1??pL??Yt?????1??1L??1??2L?...?1??qL??t (7)

假设自回归算子?1??1L??2L2?....??pLp?和移动平均算子?1??1L?...??qLq?存在共同根(公因子),同时除以公因子,得到的过程ARMA?p?1,q?1?和原来的

ARMA?p,q?过程相同。

表1 时间序列模型性质表

模型 性质 模型方程 平稳条件 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ?p?L?Yt??t Yt??q?L??t 无条件平稳 ?p?L?Yt??q?L??t ?p?z??0的根在单位圆外 ?p?z??0的根在单位圆外 可逆条件 ACF自相关 PACF偏自相关 无条件可逆 拖尾 在p截尾 ?q?z??0的根在单位圆外 在q截尾 拖尾 ?q?z??0的根在单位圆外 拖尾 拖尾 2.ARMA?p,q?的预测

2.1.预测原理(基于条件的预测):

定义1:均方误差

对于任何预测都存在误差,我们需要给出一个损失函数来度量预测偏离一个特定的量的程度。假定一个二次损失函数,选择Yt*,使得 ?1tEYt?1?Y?*t?1t? (8)

2**最小。表达式(8)称为预测值Yt*的均方误差,记做MSEY?EY?Yt?1t?1tt?1t?1t??? ?。

2定理1:最小均方误差预测就是Xt条件下Yt?1的期望。 证明:

假定Yt*为

>>闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧湱鈧懓瀚崳纾嬨亹閹烘垹鍊炲銈嗗笒椤︿即寮查鍫熷仭婵犲﹤鍟扮粻缁橆殽閻愭潙鐏村┑顔瑰亾闂侀潧鐗嗛幊鎰邦敊婵犲倵鏀介幒鎶藉磹閹版澘纾婚柟鎯у濡垶鏌熼鍡楃灱閸氬姊洪崫鍕効缂傚秳绶氶悰顕€宕堕澶嬫櫖闂佹寧绻傚Λ宀勫箰閸涱喚绡€闁汇垽娼ф禒婊勪繆椤栨熬鏀荤紒鍌氱Т楗即宕煎┑鍫О闂備線鈧偛鑻晶顔姐亜椤忓嫬鏆e┑鈥崇埣瀹曞崬螖閳ь剝銆栫紓鍌氬€搁崐鍝ョ矓閺夋嚦娑樜旈埀顒勬偝婵犳艾閿ゆ俊銈勭娴滄粓姊虹粙璺ㄧ闁汇劎鍏橀獮蹇涙惞閸︻厾锛滅紓鍌欓檷閸ㄥ綊鐛弽顓熺厵闁告劘灏欑粻娲煏閸ャ劌濮屾い锕€顕槐鎺撴綇閵娿儲璇為梺璇″枓閺呯姴鐣峰鈧幊鐘活敄閹稿骸浜濈紓鍌氬€搁崐椋庢閿熺姴绐楅柡宥庡幗閸嬪鏌熼幆褏锛嶉柡鍡畵閺岀喖鎮滃鍡樼暦闂佺ǹ锕﹂崗姗€骞冨Δ鍛仺闁谎嗩嚙濠€閬嶅极椤曗偓楠炲棜顦柡鈧禒瀣厽婵☆垵娅f禒娑㈡煛閸″繑娅呴柍瑙勫灴椤㈡瑧鍠婇崡鐐搭啀闂備胶鎳撶粻宥夊垂绾懐浜藉┑鐐存尰閸戝綊宕归幎钘夌劦妞ゆ帒鍟悡鎰版煏閸パ冾伃鐎殿喗娼欒灃闁逞屽墯缁傚秵銈i崘鈹炬嫼闂佸憡绻傜€氼噣鎮炵捄銊х<闁哄被鍎抽悾鐑橆殽閻愬弶顥㈢€殿噮鍣e畷濂割敃閿濆棙鐝┑鐘垫暩閸嬬偤宕归崼鏇熸櫇闁冲搫鍊搁閬嶆煥閻曞倹瀚�<<
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