试证明A1（自反性）：若Y?X?U，则X→Y在R上成立。 证：设t1和t2是关系R中的任意两个元组。 如t1【X】=t2【X】，因Y?X，则有t1【Y】=t2【Y】，故X→Y在R上成立。
试证明A2（增广性）：若X→Y在R上成立，且Z?U，则XZ→YZ在R上成立。 证：设t1和t2是关系R中的任意两个元组。
如果t1【XZ】=t2【XZ】，则有如t1【X】=t2【X】，t1【Z】=t2【Z】。 已知X→Y，因此可得t1【Y】=t2【Y】，由上可知如t1【YZ】=t2【YZ】，故XZ→YZ
成立。
试证明A3（传递性）：若X→Y和若Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。 证：设t1和t2是关系R中的任意两个元组。 根据传递函数依赖条件可知：
如t1【X】=t2【X】，则t1【Y】=t2【Y】， 如t1【Y】=t2【Y】，则t1【Z】=t2【Z】，
由上可得：如t1【X】=t2【X】，则t1【Z】=t2【Z】，即X→Z在R上成立。
试证明A4（合并性）：{X→Y，X→Z} |=X→YZ。
证：根据A2增广性， 在X→Y的函数依赖表达式左部和右部分别并上X，得 X→X Y。
在X→Z的函数依赖表达式左部和右部分别并上Y，得 XY→YZ。
根据A3传递性，由X→X Y和XY→YZ得X→YZ。
试证明A5（分解性）{X→Y，Z?Y} |=X→Z。 证：根据A 1自反性， 因为Z?Y所以Y→Z成立。
已知X→Y又知，Y→Z，根据A3，得X→Z。
试证明A6（伪传递性）{X→Y，WY→Z} |=WX→Z。
证：根据A2增广性， 在X→Y的函数依赖表达式左部和右部分别并上W，得WX→WY。
根据A3传递性，由WX→WY 和WY→Z得WX→Z。
试证明A7（复合性）{X→Y，W→Z} |=WX→YZ。 证：根据A2增广性，
在X→Y的函数依赖表达式左部和右部分别并上W，的WX→WY。 在W→Z的函数依赖表达式左部和右部分别并上Y，的WY→ZY。 根据A3传递性，由WX→WY和WY→ZY得WX→YZ。
试证明A8（复合性）{X→Y，W→Z} |= X ∪（W→Y）→YZ。 证：根据A2增广性， 在X→Y两边用（W－Y）扩充， 得到X ∪（W－Y）→Y∪（W－Y），
而Y∪（W－Y）=WY，因此有X ∪（W－Y）→WY。
从已知W→Z，根据A2两边用Y扩充，得到WY→YZ。
在根据A3，从X ∪（W－Y）→WY和WY→YZ可得到X ∪（W→Y）→YZ
3.6设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中平凡的FD有多少个？非平凡的FD有多少个？
（要考虑所有可能的情况,数学排列组合问题。对于数据库本身而言，本题没多大意义） 解：这个问题是排列组合问题。FD形为X→Y，从n个属性值中选择属性组成X共有：
nCn?Cn?Cn???Cn?2种方法；同理，组成Y也有2种方法。因此组成X→Y012nn形成应该有2n?2n?4n种方法。即可能成立的FD有4n个。
平凡的FD要求Y?X，组合X→Y形式的选择有：
Cn?C0?Cn?(C1?C1)?Cn?(C2?C2?C2)???Cn(Cn?Cn???Cn) ?Cn?2?Cn?2?Cn?2??Cn?2?(1?2)?3
001122nnnn001012012n012即平凡的FD有3n。因而非平凡的FD有4n?3n个。
3.7已知关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，B→C｝，试写出F的闭包F+（有43个）。 A→Φ AB→Φ AC→Φ ABC→Φ B→Φ BC→Φ C→Φ A→A AB→A AC→A ABC→A B→B BC→B C→C A→B AB→B AC→B ABC→B B→C BC→C Φ→Φ
φ→φ A+=ABC A→有： B+=BC B→有： C=C C→有：
+++
A→C AB→C AC→C ABC→C B→BC BC→BC A→AB AB→AB AC→AB ABC→AB A→AC AB→AC AC→AC ABC→AC A→BC AB→BC AC→BC ABC→BC A→ABC AB→ABC AC→ABC ABC→ABC
+ + +
+ +
1
+
=23=8个
=22=4个
=2=2个
(AB)=ABC AB→有：8个 (AC)=ABC AC→有：8个 (BC)+=BC AB→有：4个 (ABC)=ABC ABC→有：8个 共43个。
+
3.8设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，C→B｝，则相对于F，试写出关系模式R的关键码。并说明理由。
解：R的关键码为ACD。因为从已知的F。只能推出ACD→ABCD。F=｛AB→C，CD→E，DE→B｝，判断AB是R的候选键吗？ABC呢？请做出解释。
3.9设关系模式R（ABCDE），F是R上成立的FD集，
3.10设关系模式R（ABCD）上FD集为F，并且F={AB→C，C→D，D→A} ① 试从F求出所有非平凡的FD。
② 试求R的所有候选键
③ 试求R的所有不是候选键的超键。
解：
① 从已知的F可求出非平凡的FD有76个。
譬如，左边是C的FD有6个：C→A，C→D，C→AD，C→AC，C→CD，C→ACD。 左边是D的FD有2个：D→A，D→AD。
左边是AB的FD有12个：AB→C, AB→D, AB→CD, AB→AC,??。 感兴趣的读者可以自行把这76个FD写齐。
② 候选键是能函数决定所有属性的不含多余属性的属性集。根据这个概念可求出R的候选键有三个：AB、BC和BD。
③ R的所有不是候选键的超键有四个：ABC、ABD、BCD和ABCD。
3.13设关系模式R（ABCD）上FD集为F，并且F={A→B，B→C}
① 试写出属性集BD的闭包（BD）+。
② 试写出所有左部是B的函数依赖（即形为“B→？”）
解：① 从已知的F，可推出BD→BCD，所有（BD）+=BCD。
② 由于B+=BC，因此左部是B的FD有四个：B→Φ，B→B，B→C，B→BC。
3.14设关系模式R（ABCDE）上FD集为F，并且F={A→BC，CD→E，B→D，E→A}。 ① 试求R的候选键。
② 试求B+的值。
解：① R的候选键有A、E、CD和BC
3.15 设有关系模式R（ABC），其关系r如图3.1所示。
① 试判断下列三个FD在关系r中是否成立？
A→B BC→A B→A
② B+=BD。
② 根据关系r，你能断定哪些FD在关系模式R上不成立？
解：
A 1 4 5 B 2 2 3 C 3 3 3 图3.1
① 在关系r中，A→B成立，BC→A不成立，B→A不成立。 ② 在关系r中，不成立的FD有:B→A，C→A，C→B，C→AB，BC→A。
3.17 设关系模式R（ABC）分解成ρ=｛AB，BC｝，如果R上的FD集F=｛A→B｝，那么这个分解是损失分解。试举出R的一个关系r，不满足mρ（r）=r。 解：这个反例r可以举测试时的初始表格：
π
A B C AB a1 a2 b13 BC b21 a2 a3
AB（r）?πBC（r）有四个元组：
A B a1 a2 a1 a2 b21 a2 b21 a2 即mρ（r）≠r。
C b13 a3 b13 a3
4.18 试解释数据库“丢失信息”与“未丢失信息”两个概念。“丢失信息”与“丢失数据”
有什么区别？
答：数据库中丢失信息是指r≠mρ（r），未丢失信息是指r=mρ（r）。
丢失信息是指不能辨别元组的真伪，而丢失数据是指丢失元组。
3.19 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛A→C，B→C｝，试分别求F在模式AB和AC上的投影。
答： πAB（F）=φ（即不存在非平凡的FD）
πAC（F）={A→C}
3.20 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛B→C，C→A｝，那么分解ρ=｛AB，AC｝相对于F，是否无损分解和保持FD？并说明理由。 答：