1-7-两个重要极限练习题
严谨 规范 求真 铸魂
1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限limsinx
x?0x问题1：观察当x?0时函数的变化趋势： x(弧度) sinxx0.50.10.00.00.00.00 0 5 4 3 2 ... 0.90.90.90.90.90.9585 983 996 997 998 999 ... sinxxsinx当x取正值趋近于0时，?1，即limxx?0?=1；
当x取负值趋近于0时，-x?0, -x>0, sin(-x)>0．于是
x?0lim?sinxsin(?x)?lim??x?0x(?x)．
综上所述，得
x 一．limsin?1． xx?0x limsin?1的特点： xx?0 (1)它是“0”型，即若形式地应用商求极限的0法则，得到的结果是0； 0
严谨 规范 求真 铸魂
(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂． 推广 如果lim?(x)=0,(a可以是有限数x0,
x?a??或?)， 则
x例1 求limtan． xx?0limx?asin???x????x?=lim???xsin???x???0??x?=1．
解
limtanxx?0x=
sinxsinx1sinx1limcosx?lim??lim?lim?1?1?1x?0x?0xxcosxx?0xx?0cosx．
例2 求limsinx3x．
x?0 解
limsin3xx?0x3xsint=lim3sin(令3x?t)3lim?3． 3xtx?0t?0例3 求lim1?xcosx．
x?02 解
lim1?cosxx?0x2=lim2sin2x2x?0xxxxsin2sinsin2?lim2?lim1?2?2?1x?0x?02xxx22()2222．
x例4 求limarcsin． xx?0解 令arcsinx=t，则x=sint且x?0时t?0．
xt所以limarcsin=lim?1． xsintx?0t?0例5 求limtanxx?sinx．
x?03 解
limtanx?sinxx?0x3=
sinx1?cosx?sinxsinx?cosxlimcosx3?lim3x?0x?0xx