第4章 正态分布
1，（1）设Z~N(0,1)，求P{Z?1.24}， P{1.24?Z?2.37}，P{?2.37?Z??1.24}；（2）设Z~N(0,1)，且P{Z?a}?0.9147，P{Z?b}?0.0526，求a,b。 解：（1）P{Z?1.24}??(1.24)?0.8925，
P{1.24?Z?2.37}?P{Z?2.37}?P{Z?1.24}??(2.37)??(1.24)?0.9911?0.8925?0.0986P{?2.37?Z??1.24}??(?1.24)??(?2.37)?[1??(1.24)]?[1??(2.37)]?0.0986
（2）P{Z?a}?0.9147??(1.37)，所以a?1.37；
P{Z?b}?0.0526?1?P{Z?b}，所以P{Z?b}?0.9474??(1.62)，即b?1.62。
2，设X~N(3,16)，求P{4?X?8}，P{0?X?5}。 解：因为X~N(3,16)，所以
X?3~N(0,1)。 44?3X?38?3P{4?X?8}?P{??}??(1.25)??(0.25)?0.8944?0.5987?0.29574445?30?3P{0?X?5}??()??()?0.6915?(1?0.7734)?0.4649。
44
3，（1）设X~N(25,36)，试确定C，使得P{X?25?C}?0.9544。 （2）设X~N(3,4)，试确定C，使得P{X?C}?0.95。
解：（1）因为P{X?25?C}?P{?C?X?25?C}??()??(?)?2?()?1
CC?2.0，C?12.0。
66X?3C?3~N(0,1)，所以P{X?C}?1??()?0.95，即 （2）因为22C?33?C3?C?()?0.05,或者?()?0.95，从而?1.645，C??0.29。
222C6C6C6所以得到?()?0.9772,即
4，已知美国新生儿的体重（以g计）X~N(3315,5752)。 （1） 求P{2587.75?X?4390.25}；
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小
于2719的个数，求P{Y?4}。
X?3315~N(0,1)。 5754390.25?33152587.75?3315)??() （1）P{2587.75?X?4390.25}??(575575解：根据题意可得
)?0.9693?(1?0.8962)?0.8655 ??(1.87)??(?1.2648（或0.8673）
（2）P{X?2719}??(2719?3315)?1??(1.04)?0.1492， 575根据题意Y~B(25,0.1492)，所以
kP{Y?4}??C25?0.1492k?0.850825?k?0.6664。
k?04
5，设洗衣机的寿命（以年计）X~N(6.4,2.3)，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。 解：所要求的概率为
P{X?8}P{X?8|X?5}??P{X?5}1??(1.06)1?0.85542.3???0.17615?6.41??(?0.92)0.82121??()2.31??(8?6.4)6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量X,Y,则
X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)
（1）P{11.7?X?12.3,11.7?Y?12.3}?P{11.7?X?12.3}P{11.7?Y?12.3}
12.3?11.911.7?11.9?22 ??????(2)??(?1)?0.8185?0.6699； ?()??()??0.20.2??2（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
?12.4?11.9?1?P{X?12.4,Y?12.4}?1?P{X?12.4}P{Y?12.4}?1???()?0.2??2 ?1?0.99382?0.0124。
7，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值??160，均方差为?的正态分布，若要求P{120?X?200}?0.80，允许?最大为多少？ 解：根据题意，
X?160?~N(0,1)。所以有
120?16040)??()?2?()?1?0.80，
P{120?X?200}??(200?160???即，?(40?)?0.9??(1.28)，从而
40??1.28,??31.25。
故允许?最大不超过31.25。
8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在d?C，液体的温度X（以?C计）是一个随机变量，且X~N(d,0.52)， （1） 若d?90，求X小于89的概率；
（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至
少为多少？