θ|＝|λ||x|＝
24xx2?y2?24x32x?14?24242??83，当且仅当|x|＝时取等号．
3x133?4x三、解答题
（17）解：（Ⅰ）依题意得bsinA?acosB?0， ----------------------------------------------------1分
由正弦定理得sinBsinA?sinAcosB,-----------------------------------------------------------2分 ∵A?(0,?)∴sinA?0，故 sinB?cosB----------------------------------------------------4分 又∵B?(0,?)，∴B?（Ⅱ）法一：由正弦定理知
?4.--------------------------------------------------------------------------6分
abasinB??1-----------------------------------------------------------8分 ,所以sinA?sinAsinBb又A?(0,?),所以A?所以S??2,C??4,c?b?1，------------------------------------------------10分
11?1?1?.--------------------------------------------------------------------------------12分 22【法二：由余弦定理知
b2?a2?c2?2accosB,所以c2?2c?1?0-------------------------------------------------8分
解得 c?1----------------------------------------------------------------------------------------------10分 故S?11acsinB?.------------------------------------------------------------------------------12分】 22-----------------------------------------------------------1分
（18）解：（Ⅰ）证：连接AB1,则EF//AB1又ADC1B1为平行四边形，∴AB1//DC1,?EF//DC1---------------------------------------2分 又EF?面A1C1D,DC1?面A1C1D
?EF//面A1C1D--------------------------------------------------------------------------------------3分
（Ⅱ）依题意知点C1到平面AA1D的距离即点B1到平面AA1D的距离，
设点A到平面A1C1D的距离为h，
由VA?A1DC1?VC1?AA1D得S?A1DC1?h?S?AA1D?A-----------------------------------------------5分 1B1，
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S?∵AD?AC111?25,C1D?22,∴?A1DC1∴ h?1?C1D?(25)2?(2)2?6, 2S?AA1D?A1B1S?A1DC1?4?244?,即点A到平面A1C1D的距离为.-----------------------7分 633（Ⅲ）以B1为原点，B1A1、B1C1、B1B 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图----------8分
则B1(0,0,0),A(2,02),A1(2,0,0),C1(0,4,0),D(2,4,2),C(0,4,2)
?B1C?(0,4,2),A1C1?(?2,4,0),DA1?(0,?4,?2),DC1?(?2,0,?2) ?A1、P、C1三点共线，?A1P??A1C1
途径一：设P(a,b,c)，则(a?2,b,c)??(?2,4,0)，
zBC?P(2?2?,4?,0)，AP?(?2?,4?,?2)，
[途径二：AP?AA1?A1P?AA1??A1C1
AB1ExA1FPDC1y?(0,0,?2)??(?2,4,0)?(?2?,4?,?2)]
11???,AP?(?,1,?2)------------10分
24??n?DA1?0??4y?2z?0设平面DA1C1的一个法向量为n?(x,y,z)，则由?得?，
?2x?2z?0??n?DC1?0?11令z?1，则y??,x??1，?n?(?1,?,1)--------------------------------------------11分
22设直线AP与平面DA1C1所成角为?，则sin??cosAP,n?8321
即直线AP与平面DA1C1所成角的正弦值为
821.------------------------------------------12分 63（19）解：（Ⅰ）记“所选取的1名学生选考物理、化学、生物科目数量不少于2”为事件A
111C25?C20C599则P?A??【或】--------------------------------------3分 ?PA?1????11C5010C5010（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2
22C52?C25?C2020，-------------------------------------------------------------4分 P?X?0???2C5049
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1111C5C25?C20C2525，-------------------------------------------------------------5分 P?X?1???2C504911C5C4 ， --------------------------------------------------------------------6分 P?X?2??220?C5049从而X的分布列为
X P E?X??0?0 1 2 20 4925 494 492025433?1??2?? ； ----------------------------------------------------8分 49494949251?，------------------------------------------------------------------------10分 502（Ⅲ）所调查的50名学生中在物理、化学、生物中选考两科的学生有25名
相应的概率为P?所以Y B?4,??1?? ，所以事件“Y?3”的概率为 2?3?1?P?Y?3??C???2?345?1?4?1?.-------------------------------------------------12分 1??C?4?????2??2?164（20）解：（Ⅰ）依题意知F(pp,0)，抛物线的准线方程为x??，-----------------------------2分 22p由|MF|?2p结合抛物线的定义得：3??2p，解得p?2，---------------------------4分
2故所求抛物线C的方程为：y?4x.-------------------------------------------------------------5分
22y12y244（Ⅱ）证法1：设点A(,y1),B(,y2)，则kOA?,kOB?，-----------------------------6分
44y1y2由已知kOA?kOB??1得y1y2??4(y1?y2)，-------------------------------------------------7分 显然直线l的斜率存在，否则直线l与x轴垂直，由抛物线的对称性知kOA?kOB?0， 与已知kOA?kOB??1矛盾；-------------------------------------------------------------------------8分
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由此得直线l的斜率kl?y2?y14?，---------------------------------------------------9分 2y2y12y2?y1?44y124故直线l的方程为：y?y1?(x?)，----------------------------------------------10分
y1?y24整理得4x?(y1?y2)y?y1y2?0，
即4x?(y1?y2)y?4(y1?y2)?0，可知直线l过定点(0,?4).----------------------------12分 【证法2：依题意知直线l的斜率存在，否则直线l与x轴垂直，由抛物线的对称性
kOA?kOB?0，与已知kOA?kOB??1矛盾；-------------------------------------------------------------6分
设直线l的方程为y?kx?m，易知k?0，m?0，
?y?kx?m,由?2消去y得k2x2?2(km?2)x?m2?0，-----------------------------------------------8分 ?y?4x.2(km?2)m2,x1x2?2， --------------------------------9分 设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??k2k则kOA?kOB?y1y2kx1?mkx2?m?????1，整理得(2k?1)x1x2?m(x1?x2)?0, x1x2x1x2(2k?1)m22m(km?2)??0?m2?4m?0 22kk因m?0，故m??4， -------------------------------------------------------------------------------------11分 即直线l的方程为y?kx?4，可知直线l过定点(0,?4).--------------------------------------------12分】 【证法3：依题意知直线l的斜率存在，否则直线l与x轴垂直，由抛物线的对称性知 kOA?kOB?0，
与已知kOA?kOB??1矛盾；---------------------------------------------------------------------------------6分 设直线l的方程为y?kx?m，易知k?0，m?0，
联立y?4x，消去x，得ky?4(y?m)，即ky?4y?4m?0，-----------------------------8分 设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?22244m，y1?y2?，----------------------------------------9分 kk
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则kOA?kOB?444(y1?y2)4???，又kOA?kOB??1，得m??4，-------------11分 y1y2y1?y2m即直线l的方程为y?kx?4，可知直线l过定点(0,?4).-----------------------------------12分】
11（21）解:（Ⅰ）f?(x)?lnx?(a?0) 令f?(x)?0得x?ea---------------------1分
a当0?x?e时，f?(x)?0；当x?e时，f?(x)?0
所以f(x)的增区间为(e,??)，减区间为(0,e)；-----------------------------------------3分 （Ⅱ）因为函数f(x)在x?e处取得极值，所以f'(e)?0，解得a?1， ----------------------4分 【或由（Ⅰ）知函数f(x)在x?e处取得极值，所以e?e，解得a?1-------------------4分】 所以f(x)=?x?m?1的实根的个数，即方程xlnx?x?m?1在（0，＋∞）内的实根个数，可转化为函数g(x)?xlnx?x图象与直线y?m?1的交点个数.------------- ---------------------5分 由g'(x)?lnx?0得x?1
当0?x?1时，g'(x)?0；当x?1时，g'(x)?0 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增
yy=g(x)y=m+1xy=m+1y=m+11a1a1a1a1a1a?g(x)min?g(1)??1------------7分
又当0?x?1时，g(x)?xlnx?x?x(lnx?1)?0； 当x?0且x?0时，g(x)?xlnx?x?0； 当x???时，显然g(x)?x(lnx?1)???，
o-11由此可得，当m?1??1，即m??2时，方程f(x)=?x?m?1没有实数根；----------------9分 当?1?m?1?0，即?2?m??1时，方程f(x)=?x?m?1有两个不同的实数根；------10分 当m?1??1或m?1?0，即m??2或m??1时，f(x)=?x?m?1有一个实数根.-----12分 选做题：
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