2019年全国高考理科数学分类汇编——立体几何
1.（2019北京理科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【答案】40. 【解析】 【分析】
本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.
【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱
MPD1A1?NQC1B1之后余下的几何体,
几何体的体积V?4?31?2?4??2?4?40. 2【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状
以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 2.（2019北京理科）已知l，m是平面?外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥?；③l⊥?．
__________． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
3.（2019北京理科）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值； （Ⅲ）设点G在PB上，且
PF1?． PC3PG2?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． PB3
【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)
3； 3(Ⅲ)见解析.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值； (Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，则PA⊥CD， 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A， 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
易知：A?0,0,0?,P?0,0,2?,C?2,2,0?,D?0,2,0?， 由PF?由PE?1?224?PC可得点F的坐标为F?,,?， 3?333?1PD可得E?0,1,1?， 2设平面AEF的法向量为：m??x,y,z?，则
?24?224?2m?AF?x,y,z?,,?x?y?z?0?????333333， ????m?AE??x,y,z???0,1,1??y?z?0?据此可得平面AEF的一个法向量为：m??1,1,?1?，