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第一部分 专题六 第二讲
A组
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，
B．y2＝8x15
D．y＝x
2
2
△
MFO的面积为43，则抛物线方程为( B )
A．y2＝6x
C．y2＝16x
p
[解析]依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，2
p
所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，
2
3p
解得x＝，y＝2
3p.
又△MFO的面积为4
1p
3，所以××22
3p＝43，
解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.
x2m
＋
y2n
2．若双曲线
x2a
－
y2b
＝1(a>0，b>0)和椭圆
＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝ ( D )
B．m－
a
A．m2－a2 1
C．(m－a)
2m，|PF1|－
D．m－a
[解析]不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2
|PF2|＝2x2
y2
a，∴|PF1|＝
m＋
a，|PF2|＝
m－a，故|PF1|·|PF2|＝m－a.
3．(文)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
a2b2
5B．
4
73
A．
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5D．
34C．
3
[解析]由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即
可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
a2b2
2
2
2
x2y2
x24
∴3b＝4a，∴9(c－a)＝16a，∴e＝＝，故选D．
a3
y2b2
c5
(理)已知双曲线－
＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四
点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( D )x24y2B．－＝1
43x2y2D．－＝1
412
x23y2A．－＝1
44x2y2C．－＝1
44
b
[解析]根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方
2b
程为x＋y＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝
2
2
2
，yA＝4＋b2
32b
4
，故四边形4＋b2
2b
ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，
4＋b2x2y2
故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
412
x2a2
y2b2
34
4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)＋y＝
22
的一条切线y＝kx与双曲线C：－
＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( D )
B．(1,2)
A．(1，C．(|k|12＋k2
32
3)
D．(2，＋∞)3，＋∞)
[解析]由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±3，
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3
因为圆(x－1)＋y＝的一条切线y＝kx与双曲线C：
4
2
2
－＝1(a>0，b>0)有两个交点，a2b2b所以>a
b2
3，所以1＋>4，所以e>2.
a2
x2y2
5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个
→→
交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝( B )
7A．
25C．
2
B．3
D．2
|PQ|3→→
如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，
|PF|4
轴，
[解析]则MQ∥x所
以
|MQ||PQ|3
＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.4|PF|4
6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为
3
→→
的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若AM＝MB，则p＝2.
[解析]设直线AB：y＝
3x－3，代入y2＝2px得：
3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，
→→
又因为AM＝MB，即M为A，B的中点，
pp
所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，
22
解得p＝2，p＝－6(舍去)．
7．已知双曲线x－
2
y23
→→
＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2
的最小值为－2.
→→
[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－
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→→
x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1·PF2
8．已知椭圆C：
x29
＋
取最小值，最小值为－2.
y24
＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C
上，则|AN|＋|BN|＝12.[解析]取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|
＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.
221
1
9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐
标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
△
(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求
QAB面积的最小值．
[解析](1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．
y0
令y＝0，可得x＝x0－，k
|2k＋y0－kx0|
圆心(2,0)到切线的距离d＝＝2，
12＋k2整理可得(x20－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y20－4＝0，
2x0y0－4y0y20－4
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝，x20－4x0x20－4x0
1y0y0
所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0
2k1k2
x20
＝2·＝2错误!
x0－1
1
1
＝2[(x0－1)＋＋2]．
x0－1设t＝x0－1∈[4，＋∞)，
则f(t)＝2(t＋＋2)在[4，＋∞)上单调递增，
t