2
令f(x)=xln x+x-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1,
f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.
6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是 ,最小值是 .
解析:因为y′=
令y′=0可得x=1或-1.
=,
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,
所以最大值为2,最小值为-2. 答案:2 -2
2
7.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 .
解析:f′(x)=2x+2a,
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,
f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1. 答案:(-∞,-1]
32
8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x+3x+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最 小值. 解:(1)f(x)定义域为R,
2
因为f′(x)=-3x+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数, 因为f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2).
于是有22+a=20,所以a=-2.
32
所以f(x)=-x+3x+9x-2. 所以f(-1)=1+3-9-2=-7, 即f(x)最小值为-7.
【能力提升】
9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,
2
所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.
2
10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x-ln x的最小值,h′(x)=2x-=
2
,显然x=是函数
h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=
x
.
11.已知函数f(x)=e-2x+a有零点,则a的取值范围是 .
xxx
解析:函数f(x)=e-2x+a有零点,即方程e-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e,y=a有交点,而
xx
g′(x)=2-e,易知函数g(x)=2x-e在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而
xx
g(x)=2x-e的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
答案:(-∞,2ln 2-2]
12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x+ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
2
解:(1)当a=1时,f(x)=x+ln x,x>0,
2
f′(x)=x+=;
对于x∈[1,e],有f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,
所以f(x)max=f(e)=1+,
f(x)min=f(1)=. (2)令g(x)=f(x)-2ax
=(a-)x-2ax+ln x,
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,
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