微型专题 动量和能量的综合应用
[学科素养与目标要求]
物理观念：进一步理解动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律的内容及其含义.
科学思维：1.掌握应用动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律解题的方法步骤.2.通过学习，培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力.
一、滑块—木板模型
1.把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒.
2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程. 3.注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多. 例1 如图1所示，B是放在光滑的水平面上质量为3m的一块木板，物块A(可看成质点)质量为m，与木板间的动摩擦因数为μ.最初木板B静止，物块A以水平初速度v0滑上长木板，木板足够长.求：(重力加速度为g)
图1
(1)木板B的最大速度的大小；
(2)从刚滑上木板到A、B速度刚好相等的过程中，木块A所发生的位移大小； (3)若物块A恰好没滑离木板B，则木板至少多长？ 15v03v0答案 (1) (2) (3)
432μg8μg解析 (1)由题意知，A向右减速，B向右加速，当A、B速度相等时B速度最大.以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律：mv0＝(m＋3m)v，得：v＝ 41212
(2)A向右减速的过程，根据动能定理有－μmgx1＝mv－mv0
2215v0
则木块A所发生的位移大小为x1＝
32μg(3)方法一：B向右加速过程的位移设为x2. 13v02
则μmgx2＝×3mv，解得：x2＝
232μg2
2
v0
22
v0
3v0
木板的最小长度：L＝x1－x2＝ 8μg1212
方法二：从A滑上B至达到共同速度的过程中，由能量守恒得：μmgL＝mv0－(m＋3m)v
223v0
得：L＝.
8μg[学科素养] 例题可用动能定理、牛顿运动定律结合运动学公式、能量守恒定律等方法求木板的长度，通过对比选择培养了对综合问题的分析能力和应用物理规律解题的能力，体现了“科学思维”的学科素养. 二、子弹打木块模型
1.子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒. 2.在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化. 3.若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多.
例2 如图2所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(时间极短且未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：(重力加速度为g)
图2
(1)子弹射入木块的过程中，系统损失的机械能； (2)子弹射入后，木块在地面上前进的距离.
2
2
Mmv2m2v2
答案 (1) (2) 2
2?M＋m?2?M＋m?μg解析 (1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得：mv＝(M＋m)v′①
1212
射入过程中系统损失的机械能ΔE＝mv－(M＋m)v′②
22
Mmv2
由①②两式解得：ΔE＝. 2?M＋m?
(2)子弹射入木块后，二者一起沿地面滑行，设滑行的距离为x，由动能定理得： 12
－μ(M＋m)gx＝0－(M＋m)v′③
2
m2v2
由①③两式解得：x＝. 2
2?M＋m?μg
子弹打木块模型与滑块—木板模型类似，都是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统所受的外力为零(或内力远大于外力)，动量守恒.当子弹不穿出木块或滑块不滑离木板时，两物体
最后有共同速度，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多. 三、弹簧类模型
1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒.
2.整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题.
3.注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大.
例3 如图3所示，A、B、C三个小物块放置在光滑水平面上，A紧靠竖直墙壁，A、B之间用水平轻弹簧拴接且轻弹簧处于原长，它们的质量分别为mA＝m，mB＝2m，mC＝m.现给C一水平向左的速度v0，C与B发生碰撞并粘合在一起.试求：
图3
(1)A离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能； (2)A离开墙壁后，C的最小速度的大小. 12v0
答案 (1)mv0 (2) 66
解析 (1)B、C碰撞前后动量守恒，以水平向左为正方向，则mv0＝3mv， 12
弹簧压缩至最短时弹性势能最大，由机械能守恒定律可得：Epm＝×3mv
212
联立解得：Epm＝mv0
6
(2)A离开墙壁前，在弹簧恢复原长的过程中，系统机械能守恒.设弹簧恢复原长时，B、C的速度为v′，
3v02
有Epm＝mv′，则v′＝.
23
A离开墙壁后，在弹簧弹力的作用下速度逐渐增大，B、C的速度逐渐减小，当弹簧再次恢复
原长时，A达到最大速度vA，B、C的速度减小到最小值vC.在此过程中，系统动量守恒、机械能守恒.
1232
以水平向右为正方向，有3mv′＝mvA＋3mvC，Epm＝mvA＋mvC，
22解得：vC＝. 6
针对训练 如图4所示，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C相连，使弹簧不能伸展，以至于B、C与弹簧可视为一个整体.现A以初速度v0沿B、C的连
v0