第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系
?对应学生用书（文）122～124页??? ? （理）127～129页?
考情分析 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
考点新知 ① 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系. ② ② 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 2
1. 已知圆O：x＋y＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________________． 答案：3x－4y＋10＝0或x＝2
解析：∵ 点P(2，4)不在圆O上，∴ 切线PT的直线方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d
|－2k＋4|33
＝r，∴ ＝2，解得k＝，所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一2
441＋k
2
点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x＝2.
22
2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x－1)＋(y＋2)＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．
答案：相交
解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．
22
3. (必修2P115练习4改编)若圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．
答案：(－3，3)
2
解析：由题意知＞1，解得－3＜k＜3. 21＋k4. 过直线x＋y－22＝0上点P作圆x＋y＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．
答案：(2，2)
解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的
22
?x＝2，?x＋y＝4，
夹角为30°，则|PO|＝2，由?可得?
x＋y＝22，??y＝2.
22
5. (必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x＋y＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．
22
答案：(x－2)＋(y＋2)＝9
22222
解析：设所求圆的方程为(x－2)＋(y＋2)＝r(r>0)，此圆与圆x＋y＋2x－4y＋1＝0，
2222
即(x＋1)＋(y－2)＝4相外切，所以（2＋1）＋（－2－2）＝2＋r，解得r＝3.所以所求
22
圆的方程为(x－2)＋(y＋2)＝9.
1. 直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆相交，有两个公共点；
2
2
(2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，无公共点． 2. 直线与圆的位置关系的判断方法
222
直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)的位置关系的判断方法：
(1)几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d， d
222
由Ax＋By＋C＝0，(x－a)＋(y－b)＝r，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0?直线与圆相交； Δ＝0?直线与圆相切； Δ<0?直线与圆相离．
3. 圆与圆的位置关系及判断方法
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法
222222
两圆(x－a1)＋(y－b1)＝r1(r1>0)与(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0)的圆心距为d，则 d>r1＋r2?两圆外离； d＝r1＋r2?两圆外切；
|r1－r2| 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) ?两圆内含(d＝0时为同心 圆). 题型1 直线与圆的位置关系 22 例1 已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1) 求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程． (1) 证明：直线l的方程整理得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，∵ m∈R，∴ ??2x＋y－7＝0，??x＝3，??也就是直线l恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝5<5(半径)，∴ 点?x＋y－4＝0?y＝1，?? A(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点． 1 (2) 解：弦长最小时，直线l⊥AC，而kAC＝－，故此时直线l的方程为2x－y－5＝0. 2 变式训练 222 已知圆x＋y－6mx－2(m－1)y＋10m－2m－24＝0(m∈R)． (1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上； (2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离． ??x＝3m，22 (1) 证明：配方得(x－3m)＋[y－(m－1)]＝25.设圆心为(x，y)，则?消去m， ?y＝m－1，? 得x－3y－3＝0.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x－3y－3＝0上． (2) 解：设与l平行的直线为n：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l的距离d＝|3m－3（m－1）＋b||3＋b| ＝，由于圆的半径r＝5，∴ 当d 1010直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当d>r，即b<－510－3或 b>510－3时，直线与圆相离． 题型2 直线与圆相交的弦的问题 22 例2 已知圆C：x＋(y－3)＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点， M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N. (1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； (2) 当PQ＝23时，求直线l的方程； →→ (3) 探索AM·AN是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 1 (1) 证明：∵ l与m垂直，且km＝－， 3 ∴ kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C. (2) 解：①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2 3，所以CM＝4－3＝1， |－k＋3|4 则由CM＝＝1，得k＝，∴ 直线l：4x－3y＋4＝0. 从而所求的直线l的方程为x2 3k＋1＝－1或4x－3y＋4＝0. →→→→→→→→→→→ (3) 解：∵ CM⊥MN，∴ AM·AN＝(AC＋CM)·AN＝AC·AN＋CM·AN＝AC·AN . 5?5?→?→→→?①当l与x轴垂直时，易得N?－1，－?，则AN＝?0，－?.又AC＝(1，3)，∴ AM·AN＝3?3??? ??y＝k（x＋1），→→ AC·AN＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由? ?x＋3y＋6＝0，? ?－3k－6，－5k?，则→?－5，－5k?. 得N?AN＝??? ?1＋3k1＋3k??1＋3k1＋3k?→→→→－5－15k∴ AM·AN＝AC·AN＝＋＝－5. 1＋3k1＋3k →→→→ 综上，AM·AN与直线l的斜率无关，且AM·AN＝－5. 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴ 四点M、 →→ C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得AM·AN＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5. 备选变式（教师专享） 22 已知圆C：(x－3)＋(y－4)＝4，直线l1过定点A(1，0)． (1) 若l1与圆相切，求l1的方程； (2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：(1) ①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意． ②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. |3k－4－k|3 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. 2 4k＋1 ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.