随机耦合逻辑斯谛系统的同步
摘要：本文在耦合映象格子模型的基础上，将耦合连接进行随机化处理，构造出随机耦合逻辑斯谛系统模型。通过数值模拟实验，得到随机耦合逻辑斯谛系统中时空混沌的同步。 关键词：小世界网络 随机耦合 同步 1 概述
我们经常用许多节点和节点之间的一些连线来描述网络，其中节点表示不同的个体，而连线则表示个体间的关系。规则网络模型的特点是每个节点以相同的规律和其它节点相连，而完全随机网络模型[1]是随机连接任意两个节点而成。然而，这两种模型不能很好的描述现实世界中的网络。到了1998年，watts和strogatz[2]提出了小世界网络模型，它是以一定概率断开规则网络中节点间的连线并重新连接而成，模型构造过程如图1所示。大量的实证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应。 2 随机耦合逻辑斯谛系统模型
耦合映象格子是一种能够捕获非线性系统动力学特征的简单模型[3]。耦合映象格子中格点的耦合方式是严格的最近邻耦合。这是一种规则耦合，然而时空耦合中随机度的引入能使系统更加接近现实中的生物学或物理学系统。因此，这里我们将模拟小世界耦合方式，构造空间耦合连接具有随机性的耦合逻辑斯谛系统，研究其同步问题。
考虑一维环状耦合单峰映象系统，
其中，x表示系统的状态变量，n表示离散化的时间，i为格点坐标（i=1，2，…，l），l为系统尺寸，ε为耦合强度。我们以逻辑斯谛映象f(x)=ax(1-x)作为非线性映象进行数值实验。由逻辑斯谛映象的分岔图可知，当取a=4时，耦合映象格子系统处于混沌状态。这就是被广泛采用的研究低维混沌的模型。
在上述规则的耦合连接中，我们以一定的概率p，把规则耦合连接替换为随机耦合连接，得到一个随机耦合系统。当p=0和p=1时，这个新的随机耦合系统就分别趋近于规则耦合和完全随机耦合两种情况；当p取值很小(p～0.01) 时，类似于小世界耦合。演化后的随机耦合系统可以表示为：
其中，ξ和η是1到l之间的随机整数。 3 随机耦合逻辑斯谛系统模型时空混沌的同步 3.1 同步结果
我们设l=40，并选择一组0到1之间的随机数为这40个格点赋初值，再计算各个格点的数值变化情况。结果表明，在耦合强度ε足够大的情况下，规则的最近邻耦合(p=0)系统不能达到同步，而随机耦合(0＜p≤1)系统中的各个格点在不动点处达到同步。图2，图3和图4分别展示了系统在规则耦合(p=0)，随机耦合(p=0.3)和完全随机耦合(p=1)三种情况下，各个格点状态变量xn(i)(i=1，2，…40)的演化情况。可以看出，在随机耦合系统中，系统的各个格点最终同步在不动点xn(i)=x*=0.75。
其中，n轴和xn(i)轴分别表示迭代步数和系统中各个格点的状
态变量，耦合强度ε=0.8。
其中，n轴和xn(i)轴分别表示迭代步数和系统中各个格点的状态变量，耦合强度ε=0.8。
其中，n轴和xn(i)轴分别表示迭代步数和系统中各个格点的状态变量，耦合强度ε=0.8。
这里需要说明的是，对于所有p>0的随机耦合情况，若使系统达到一个稳定的同步态，耦合强度应该满足εmin≤ε≤1.0。εmin表示系统达到同步态所需要的最小耦合强度，其值依赖于耦合概率p。
3.2 稳定性分析
对同步结果进行稳定性分析。首先从系统中任意取第j个格点，其演化方程为：
再求非线性方程(3)在不动点x*附近的线性化方程，设xn(j)=x*+hn(j)，而不动点满足x*=f(x*)，代入方程(3)，得到线性化方程：
然后，利用傅立叶展开（其中q表示波数），得到：
对于逻辑斯谛映象若使系统稳定，需满足 由此得到，若使系统达到稳定同步态，耦合强度ε的最小值 和ε的取值范围
对于规则的最近邻耦合p=0，εmin=1，r=0；对于完全随机耦合p=1，εmin=，r达到最大值。 4 结论