2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
第一章 绪论
姓名 学号 班级
习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
*?2解：x?0.3400?10，x?x?*?511?10?5??10?2?3 22故具有3位有效数字。
2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
*解：??0.314159??10，欲使其近似值?具有4位有效数字，必需
???*?111?101?4，???10?3??*????10?3，即3.14109??*?3.14209 2223 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）
11?10?3，b?b*??10?2，而a?b?2.1811，a?b?1.1766 22111(a?b)?(a*?b*)?a?a*?b?b*??10?3??10?2??101?2
222故a?b至少具有2位有效数字。
0.9781.20311(ab)?(a*b*)?ba?a*?a*b?b*??10?3??10?2?0.0065??101?2222故a?b至少具有2位有效数字。
解：a?a*?4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知
x?x*x*??，则误差为 lnx?lnx*?1lnx*x?x*x*??
则相对误差为
lnx?lnx*lnx*?x?x*x*??lnx*
**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知
|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差
限。（误差限的计算） 解：
2v(h,r)?v(h*,r*)?2?r*h*r?r*??r*2h?h*
绝对误差限为
v(h,r)?v(20,5)?2???5?20?0.1???52?0.2?25? 1
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v(h,r)?v(20,5)相对误差限为
v(20,5)?25?1??4% 2??5?20206 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 解：
x?x*x*?a%，
y?y*y*?xn?x*nx*n?nx?x*x*?(na)%
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 v(r)?344???r3，v(r*)????r* 33欲使
v(r)?v(r*)v(r*)1?4???r*2r?r*4???r*33?3r?r*r*?1%，必须
r?r*r*1?%。 38 设In?e?1nxx?edx，求证： 0（1）In?1?nIn?1(n?0,1,2?)
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计
算方法的比较选择）
1解：In?e1?1?xde?e[xe0nx?1nx1011n?1x?n?x0edx]?1?ne?1n?1xx?edx?1?nIn?1 0I0?e?1?edx?e0x?1(e?1)?1?e?1
*如果初始误差为?0?I0?I0，若是向前递推，有
**?n?In?In?(1?nIn?1)?(1?nIn)2n(n?1)?n?2???(?1)nn!?0 ?1)??n?n?1?(?1可见，初始误差?0的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推In?1?11?In，其误差为 nn1111*1(