2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
?x1?2x2?2x3?1?8对于给定的线性方程组?x1?x2?x3?2
?2x?2x?x?323?1（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
（2）对收敛的方法，取初值x(0)?(1,0,0)T，迭代两次，求出x(1),x(2),x(3)。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较）
?12?2??1解：A???111???，b?2?
??221???????3??雅可比迭代式为：
?0?22?x(????10?1??1??1?k?1)??x(k)???2??，取x(0)???0?
??2?20????3?????0??计算迭代阵的特征值
?2?2?I?B?1?1??3
22?故?(B)?0?1，雅可比迭代收敛。 高斯-塞德尔迭代式
?100??1B?(D?L)?1U???110???1??0?22??10??00?1????1100????22???0???0?2?100?f?(D?L)?1b????110???1??1?2???1?
??21???????0???3?????1???0?22??1?x(k?1)???02?3??1?x(k)??1?，取x(0)??0?
???????002?????1????0??计算迭代阵的特征值
?2?2?I?B?0??23??(??2)
00??2故?(B)?2?1，高斯-塞德尔迭代发散。
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0????0?22??0000?1??1???????0??000????0?22?2?3?02?
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对于雅可比迭代，取x(0)?(1,0,0)T，可得
x(1)?(1,1,1)T，x(2)?(1,0,?1)T，x(3)?(?1,2,1)T
进一步的计算可知，x*?(?1,2,1)T。 9 证明对称矩阵
?1????
A???1???????1??当?111???1为正定矩阵，且只有当????时，用雅可比迭代法求解方程组Ax?b222才收敛。（雅可比迭代法的收敛性） 解：矩阵A的各级顺序主子式分别为
A1?1，A2?1??2，A3?(1??)(1?2?)
当?1???1时，上述各级顺序主子式均大于零，故A正定。 2其雅可比迭代式为
x(k?1)?0???????????0?????(k)????x?b?0??
其迭代矩阵的特征多项式为
????I?B?????(??2?)(???)???迭代矩阵的特征值为?2?和?。当?
11???时，?(B)?1，雅可比迭代收敛。22 38
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第八章 线性方程组的直接解法
姓名 学号 班级
习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。
?1用高斯消去法解方程组?234??119??x1??0???x???2?(高斯消去法的应用)
2?6???2???。
??1???x3????1????00???10解：用L?111???10?0??，L010???104??1，L?017?，L??0?2??2????1??201???3??4???011????001???0??乘方程组两边（采用高斯消去法），有
??200??0?10?????x1??x???150??2???23? ??002?1????x3????3??解得：x1?75，x2??46，x3??3。
?2x1?x2?x3?02用LU分解法求解线性方程组??x1?x2?x3?3。（LU分解法的应用）
??x1?x2?2x3?1解：原线性方程组的系数矩阵，右端列向量分别为
?211??0A???111??，b??3?
????112???1?????100?A?LU，其中，L???1/210??211?，U??01/21/2?
????1/211????001????解Ly?b，可得：y??0???3??3?，解Ux?y，可得：x??8?。
?????2??????2???3设A??2?11??4?12?，求A的LU分解。（LU分解法的应用） ?2?23???? 39
60?10?依次左
01???2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
00??1?2?11???，U??0?
1010解：L?2???????1?11???002???310???1?????4试用“追赶法”解方程组Ax?b，其中：A?241，b?7（追赶法的应用） ???????025???9??解：追的过程：
11?x2 33233?x3 代入第2个方程，解出x2?1010由第1个方程，有x1??再代入第3个方程，解出x3?1。 赶的过程： 将x3?1代入x2?23311?x3，得到x2?2。再将x2?2代入x1???x2，得x1??1。 101033?x1??1?故原线性方程组的解为?x2?2。
?x?1?3?12???5设A?1?1，求cond(A)2（条件数的计算） ???1??1??12?111???1?1???32? T?解：B?AA??????26??2?11??1??1????I?B???3?2?2?(??2)(??7) ??62B的特征值分别为2，7，故A从而A?12??max(B)?7。
7。 2??max(B?1)??11，故cond(A)2?21（范数的性质） A6求证：I?1，A?证明：设A和I为n阶方阵，对于任意给定n维向量x?0，有
x?I?x?I?x
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