数值分析最佳习题(含答案)

2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编

第三章 函数逼近

姓名 学号 班级

习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。

1 设f(x)?sin?x,求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近) 解:??span{1,x}

11(?1,?1)??dx?1,(?1,?2)??xdx?,(?2,?2)??x2dx?

230001111(f,?1)??sin?xdx?021?,(f,?2)??xsin?xdx??0x?cos?x?11?2sin?x?01?

法方程组为

1??2?2??a1?????

??1?1??a??2???3????2解得:a1?,a2?0

???1?1??2线性最佳平方逼近多项式为:??*2?。

x2 令f(x)?e,?1?x?1,且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1]

上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近) 解:??span{1,x}

2(?1,?1)??dx?2,(?1,?2)??xdx?0,(?2,?2)??x2dx?

3?1?1?11x?11111(f,?1)??edx?e?e,(f,?2)??xexdx?2e?1

?1?1法方程组为

?20??a1??e?e?1?2??????1? ?0a?3????2??2e?1e?1?1解得:a1?(e?e),a2?

23e?e?1e?1?x。 线性最佳平方逼近多项式为:p(x)?23

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3证明:切比雪夫多项式序列

Tk(x)?cos(karccosx)

在区间??1,1?上带权?(x)?1/1?x2正交。(正交多项式的证明) 解:对于l?k,有

1(Tl,Tk)??10?11?x2cos(larccosx)cos(karccosx)dx

?2???11?cost?cos(lt)cos(kt)(?sint)dt??cos(lt)cos(kt)dt

01??[cos(l?k)t?cos(l?k)t]dt 20111?[sin(l?k)t?sin(l?k)t]?0?0 2l?kl?k对于l?k,有

1(Tk,Tk)??10??11?x21cos2(karccosx)dx

????1?cos2tcos(kt)(?sint)dt??cos2(kt)dt

02111???[1?cos(2k)t]dt?[t?sin(2k)t]?? 02022k2故,序列{Tk(x)}在[-1,1]上带权?(x)?11?x2正交。

?x1?x2?3?4求矛盾方程组:?x1?2x2?4的最小二乘解。(最小二乘法)

?x?x?22?1解法一:求x1与x2,使得

f(x1,x2)?(x1?x2?3)2?(x1?2x2?4)2?(x1?x2?2)2

达到最小。于是,令

?f?2(x1?x2?3)?2(x1?2x2?4)?2(x1?x2?2)?0 ?x1 10

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?f?2(x1?x2?3)?2(x1?2x2?4)?2?2(x1?x2?2)(?1)?0 ?x2即:??3x1?2x2?9?x1?2.5714,其最小二乘解为:?。

?2x1?6x2?9?x2?0.6429解法二:

?11??3??12??x1???4?,记作AX?b,该矛盾方程组的最小二乘解,应满足以下方程组 ???x????2??2???1?1?????32??x1??9?AAX?Ab,即???x???9?

26???2???TT解之,得??x1?2.5714。

?x2?0.64295 已知一组试验数据

xk 2 4 2.5 4.5 3 6 4 8 5 8.5 5.5 9 yk 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。(最小二乘线性逼近) 解:作矩阵

?12??4??12.5??4.5??????13??6?A???,y???

14???8??15??8.5?????15.5??????9??法方程为

(ATA)X?(ATy)

22??a??40??6?2290.5???b???161.25? ??????解得:a?1.2288,b?1.4831。

x。 其直线拟合函数为y?1.2288?1.48316 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx的经验公式,使与下列数据相拟合.

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xk 19 19 25 32.3 31 49 38 44 73.3 97.8 yk (最小二乘二次逼近) 解:等价于对数据表

2 xk361 19 625 32.3 961 49 1444 1936 73.3 97.8 yk 作线性拟合。其法方程组为:

5327??a??271.4??5?53277277699???b???369321?

.5??????解得:a?0.9726,b?0.0500 故经验公式为 y?0.9726?0.05x2。

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