2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编
解：迭代函数?(x)?1?2sinx 3??(x)??cosx?232，当x?(??,?) 3故迭代在区间(??,?)上整体收敛。
2sinx*，且
n??310222143????4??x*?1?ssinx*?4???
3333322**故 ??(x)??cosx?0
3设limxn?x，则x?1?**故该迭代的收敛速度为1阶的。
6 方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：
(1) x?1?11，对应迭代格式： x?1?n?122xxn232(2) x?1?x，对应迭代格式：xn?1?31?xn
(3) x?21，对应迭代格式：xn?1?x?11 xn?1讨论这些迭代格式在x0?1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出x0?1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 解：f(x)?x3?x2?1，x?[1,3] 2f(1)??1?0，f()?，
31[1,]上有根x*。 ，故方程在?02853539*f()???0，故方程在[,]上有根x。
4246411311149*f()???0，故方程在[,]上有根x。
82851232对于迭代式（1）：?(x)?1?而?(x)??*122831024*???(x)??，， ?(x)???2?()??1
x2x3111331x*32?0，故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。 x*321/3对于迭代式（2）：在x?[1,2]上，?(x)?(1?x)，??(x)?2x
3(1?x2)2/3332x2342x**??(x)??x??1，又??(x)??0，故该迭代在2/322/3*3(2x)333(1?x) 21
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x?[1,2]上整体收敛，且收敛速度为一阶的。
对于迭代式（3）：?(x)?21在[1，2]上的值域为[1,??)，该迭代式不收敛。 x?1取迭代式xn?1?31?xn，x0?1.5进行计算，其结果如下：
x1?1.4812，x2?1.4727，x3?1.4688，x4?1.4670
x5?1.4662，x6?1.4659，x7?1.4657，x8?1.4656
x8?x7?0.0001?1?101?4，取x8?1.4656为近似值具有4位有效数字。 27设 f(x)?(x3?a)2
(1) 写出解 f(x)?0的牛顿迭代格式；
(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 解：牛顿迭代式为 xn?1?*5axn?2， 66xn5a5a1x?2，??(x)??3，??(3a)??0 663x26x11因??(3a)??1，故迭代局部收敛。又因??(3a)??0，故迭代收敛速度为1阶。
22方程的根为x?3a，?(x)?8 设计一个计算
1a的牛顿迭代法，且不用除法（其中a?0）。（牛顿迭代法）
解：考虑方程f(x)?2 xn?1?2xn?axna?11a?1/x?0，f?(x)?2，?(x)?x??2x?ax2 2xx1/x而??(1a)?2?2a?1a?0，该迭代局部收敛。
9 用牛顿法求115的近似值，取x0?10或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）
x2?1151115?(x?) 解：考虑方程f(x)?x?115?0，f?(x)?2x，?(x)?x?2x2x2 22
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xn?1?1115(xn?) 2xn取
x0?10为初始值，计算其迭代值如下： x1?10.7500，x2?10.7238，x3?10.7238
取
x0?11为初始值，计算其迭代值如下：