习题课 正弦定理和余弦定理
学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．
知识点一 有关三角形的隐含条件
思考 我们知道y＝sin x在区间(0，π)上不单调，所以由0＜α＜β＜π得不到sin α＜sin β.那么由A，B为△ABC的内角且A＜B，能得到sin A＜sin B吗？为什么？ 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：
(1)由A＋B＋C＝180°可得
sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________， tan(A＋B)＝________，sincos
A＋B2
＝________，
A＋B2
＝________.
(2)由三角形的几何性质可得
acos C＋ccos A＝____，bcos C＋ccos B＝____， acos B＋bcos A＝____.
(3)由大边对大角可得sin A＞sin B?A____B. (4)由锐角△ABC可得sin A____cos B. 知识点二 解三角形的基本类型 完成下表：
已知条件 三边 两边及其夹角 两边及一边 对角 一边及两角 知识点三 三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等．
适用定理 解的个数 ____________ 或____________
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 引申探究
1．对于例1中的条件，c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？ 2．例1中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？
2
例1 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝，求sin B的值．
3反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段； (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式． 跟踪训练1 在△ABC中，已知b＝ac，a－c＝ac－bc. (1)求A的大小； (2)求
2
2
2
bsin B的值． c类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin (1)求A的度数；
(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．
反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程．(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用．
62222A＋C跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＋c－b＝ac.求2sin52＋sin 2B的值．
类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用
3→→
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，a＝7且AB·BC＝－21.求
5角C.
反思与感悟 利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定理解三角形．
跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin
2
B＋C7
－cos 2A＝. 22
C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A等于( ) ππππA. B. C. D. 12643
→→
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA·AC＝________.
3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是________．
1．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．
2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．