代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案

第一章代数基本概念

1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明:

对任意a,bG,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群G为交换群.

2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG,

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知G为交换群.

3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:

(1) a(bc)=(ab)c;

(2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]

设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有

akaiak aj------------<1> aiakaj ak------------<2>

再由乘法的封闭性可知

G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>

由<1>和<3>知对任意atG, 存在amG,使得

akam=at.

由<2>和<4>知对任意atG, 存在asG,使得

asak=at.

由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]

为了证明G在给定的乘法运算下成一群,只要证明G内存在幺元(单位元),并且证明G内每一个元素都可逆即可.

为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.

1

(Ⅰ) 证明G内存在幺元.

<1> 存在atG,使得a1at=a1.(这一点的证明并不难,这里不给证明); <2> 证明a1at= ata1; 因为

a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,

故此

a1(ata1)at= a1(a1at)at.

由条件(1),(2)可得到

a1at= ata1.

<3> 证明at就是G的幺元; 对任意akG,

a1(atak) =(a1at)ak=a1ak

由条件(2)可知

atak=ak.

类似可证

akat=ak.

因此at就是G的幺元.

(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆;

上面我们已经证明G内存在幺元,可以记幺元为e,为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG,存在bG,使得

ab=ba=e.

<1> 对任意aG,存在bG,使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

<2> 证明ba=ab=e; 因为

a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此G内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.

4. 设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对

元素a,bG,下列方程

ax=b和ya=b

分别在G内恒有解,则G在该乘法下成一群. 证明:

取一元aG,因xa=a在G内有解, 记一个解为ea ,下面证明ea为G内的左幺元. 对任意 bG, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以 eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,

因此ea为G内的左幺元.

2

再者对任意dG, xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.

[总结]

群有几种等价的定义:

(1) 幺半群的每一个元素都可逆,则称该半群为群.

(2) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律, 并且G内包含幺

元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.

(3) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律, 并且G内包含左

幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.

(4) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律, 并且对于任一对元

素a,bG,下列方程

ax=b和ya=b

分别在G内恒有解,则称G为该运算下的群.

值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.

5. 在S3中找出两个元素x,y,适合

(xy)2x2y2.

[思路] 在一个群G中,x,yG, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取

x=, y=

那么

(xy)2= x2y2.

[注意]

我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:

Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)

(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);

Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)

(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);

Stable[n_]:=(*生成Sn群表*)

(a=Se[n];

Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])

当n=3时群表如下:

[说明]:表示置换, 剩下的类似.为了让更清楚,我们分别用e,a,b,c,d,f表示,,,,那么群表如下:

e a b

e e a b a a e c b b d e 3

c c f a d d b f f f c d

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