第一章代数基本概念
1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明:
对任意a,bG,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群.
2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知G为交换群.
3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
(1) a(bc)=(ab)c;
(2) 由ab=ac推出a=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1]
设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有
akaiak aj------------<1> aiakaj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4>
由<1>和<3>知对任意atG, 存在amG,使得
akam=at.
由<2>和<4>知对任意atG, 存在asG,使得
asak=at.
由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.
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(Ⅰ) 证明G内存在幺元.
<1> 存在atG，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明a1at= ata1; 因为
a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,
故此
a1(ata1)at= a1(a1at)at.
由条件(1),(2)可得到
a1at= ata1.
<3> 证明at就是G的幺元; 对任意akG,
a1(atak) =(a1at)ak=a1ak
由条件(2)可知
atak=ak.
类似可证
akat=ak.
因此at就是G的幺元.
(Ⅱ) 证明G内任意元素都可逆；
上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG，存在bG，使得
ab=ba=e.
<1> 对任意aG，存在bG，使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
<2> 证明ba=ab=e; 因为
a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件(2),(3)知
ba=ab.
因此G内任意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群.
4. 设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对
元素a,bG,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群. 证明：
取一元aG,因xa=a在G内有解, 记一个解为ea ,下面证明ea为G内的左幺元. 对任意 bG, ax=b在G内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以 eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,
因此ea为G内的左幺元.
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再者对任意dG, xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.
[总结]
群有几种等价的定义:
(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.
(2) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含幺
元, G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.
(3) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且G内包含左
幺元, G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.
(4) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元
素a,bG,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.
值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.
5. 在S3中找出两个元素x,y,适合
(xy)2x2y2.
[思路] 在一个群G中，x,yG, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取
x=, y=
那么
(xy)2= x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:
Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)
(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);
Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)
(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);
Stable[n_]:=(*生成Sn群表*)
(a=Se[n];
Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])
当n=3时群表如下：
[说明]：表示置换, 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用e,a,b,c,d,f表示,,,,那么群表如下:
e a b
e e a b a a e c b b d e 3
c c f a d d b f f f c d