求解风吹气球时气球的运动情况
一气球以速率V0从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按Vx?by增大，其中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右的方向。试计算：
(1) 气球的运动学方程；
(2) 气球水平飘移的距离与高度的
关系；
(3) 气球沿轨道运动的切向加速度
和轨道的曲率与高度的关系。 解：
（1）取平面直角坐标系x0y，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知
Vy?V0，Vx?by.
显（1） 而
然
，
有
y?V0t.
dx?by?bV0t,dx?bV0tdt, dt对上式积分，
?x0dx??bV0tdt,得到
0tbV0t2x?. （2）
2故气球的运动学方程为：r???bV02?ti?V0tj. 2(2)由（1）和（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系
x?b2y. 2V0（3）气球的运动速率
V?Vx2?Vy2?b2V02t2?V02?b2y2?V02
气球的切向加速度
dVa???dtb2V0tbt?122?b2V0yby?V2220.
dVy2dVx2)?()?b2V02,可得 而由an?a?a?和a?a?a?(dtdt2222x2y
an?bV02by?V2220.
由an?V2?，求得
V2(b2y2?V02)3/2 ???anbV02小船船头恒指向某固定点的过河情况
一条笔直的河流宽度为d，河水以恒定速度u流动，小船从河岸的A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（V>u）运动，不论小船驶向何处，它的运动
?方向总是指向O点，如图一，已知AO?r0,?AOP??0,试求：
小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的对面（即AO?d），结果又如何？
解：选定极坐标系，原点为O点，极轴为OP。在任一时刻t，小船的位置为（r,?），小船速度的径向分量和横向分量
Vr?drd???V?ucos? V??r??usin? dtdt两式相除，得到
rd?dt?rd???usin? drdr?V?ucos?dt分离变量，
dr?V?ucos?V?d??(?ctg?)d?, r?usin?usin?积分后，得到
?drV?(?r0r??0usin??ctg?)d?
rln?rV??(lntan?lntan0)?(lnsin?0?lnsin?)r0u22tg??022]V/u?(sin?0).
?sin?tg02tg?ln[[tg2]V/usin?0?()],sin?
?既
r?[r0这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。 若O点刚好在A点的对面，则r0?d,?0?代入，得
?2，
r?d?(tg)V/u. sin?2求解小环对地的运动情况
一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为?，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设t?0时小环位于杆的端点O，求：
小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。