证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。 首先列出平移和旋转性质：
f(x,y)ej2?(u0x/M?v0y/N)?F(u?u0,v?v0) f(x?x0,y?y0)?F(u,v)e?j2?(x0r/M?y0v/N)
旋转性质：
x?rcos?,y?rsin?,u??cos?,v??sin?
f(r,???0)?F(?,???0) 证明：由式得： 由式得：
依次类推证明其它项。
由习题可以推出1??(u,v)和?(t,z)?1。使用前一个性质和表中的平移性质证明连续函数f(t,z)?Acos(2?u0t?2?v0z)的傅里叶变换是
F(u,v)?证明：
A[?(u?u0,v?v0)??(u?u0,v?v0)] 2??F(u,v)????????????f(t,z)e?j2?(ut?vz)dtdzAcos(2?u0t?2?v0z)e?j2?(ut?vz)dtdz????????A??j2?(u0t?v0z)?j2?(u0t?v0z)?j2?(ut?vz)[e?e]edtdz2?????? A??j2?(u0t?v0z)?j2?(ut?vz)A???j2?(u0t?v0z)?j2?(ut?vz)eedtdz???eedtdz2??????2????AA?(u?u0,v?v0)??(u?u0,v?v0)22A[?(u?u0,v?v0)??(u?u0,v?v0)]2 证明离散函数f(x,y)?1的DFT是
?1,u?v?0?{1}??(u,v)??
?0,其它证明：离散傅里叶变换
F(u,v)???f(x,y)e?j2?(ux/M?vy/N)
x?0y?0M?1N?1?{1}???e?j2?(ux/M?vy/N)x?0y?0M?1N?1???e?j2?(ux/M?vy/N)x?0y?0M?1N?1
如果u?v?0，?{1}?1，否则：
?{1}???{cos[2?(ux/M?vy/N)]?jsin[2?(ux/M?vy/N)]}
x?0y?0M?1N?1考虑实部，?{1}???cos[2?(ux/M?vy/N)]，cos[2?(ux/M?vy/N)]的值介
x?0y?0M?1N?1于[-1, 1]，可以想象，?{1}???cos[2?(ux/M?vy/N)]?0，虚部相同，所
x?0y?0M?1N?1以
?1,u?v?0 ?{1}??(u,v)???0,其它 证明离散函数cos(2?u0x?2?v0y)的DFT是
1F(u,v)?[?(u?Mu0,v?Nv0)??(u?Mu0,v?Nv0)]
2证明：
F(u,v)???f(x,y)e?j2?(ux/M?vy/N)x?0y?0M?1N?1???cos(2?u0x?2?v0y)e?j2?(ux/M?vy/N)x?0y?0M?1N?11M?1N?1j2?(u0x?v0y)?j2?(u0x?v0y)?j2?(ux/M?vy/N)???[e?e]e2x?0y?01M?1N?1j2?(u0x?v0y)?j2?(ux/M?vy/N)M?1N?1?j2?(u0x?v0y)?j2?(ux/M?vy/N)?{??ee???ee}2x?0y?0x?0y?01M?1N?1j2?(Mu0x/M?Nv0y/N)?j2?(ux/M?vy/N)M?1N?1?j2?(Mu0x/M?Nv0y/N)?j2?(ux/M?vy/N)?{??ee???ee}2x?0y?0x?0y?01?[?(u?Mu0,v?Nv0)??(u?Mu0,v?Nv0)]2 下列问题与表中的性质有关。 ★ (a) 证明性质1的正确性。 ★ (b) 证明性质3的正确性。 (c) 证明性质6的正确性。 ★ (d) 证明性质7的正确性。 (e) 证明性质9的正确性。 (f) 证明性质10的正确性。 ★ (g) 证明性质11的正确性。 (h) 证明性质12的正确性。 (i) 证明性质13的正确性。
(a)当f(x,y)为实函数，则
*?M?1N?1?F(u,v)????f(x,y)exp(?j2??ux/M?vy/N?)??x?0y?0?*M?1N?1????f(x,y)exp(j2??ux/M?vy/N?)x?0y?0*M?1N?1x?0y?0
??f(x,y)exp(?2????u?x/M???v?y/N?)*?F(?u,?v)(b)当f(x,y)为实函数，则F(u,v)?R(u,v)?jI(u,v)和F(u,v)?R(u,v)?jI(u,v)并且F(?u,?v)?R(?u,?v)?jI(?u,?v)。而且F(u,v)?F(?u,?v)，所以可以得到：
R(u,v)?jI(u,v)?R(?u,?v)?jI(?u,?v)，便是R(u,v)?R(?u,?v)为偶函数和 ?I(u,v)?I(?u,?v)为奇函数。
*(c)当f(?x,?y)为复函数，由下式得：
??f(?x,?y)????f(m,n)exp(j2??um/M?vn/N?)m?0n?0M?1N?1?1?M??1N???m?0n?0?F(u,v)*f*(m,n)exp(?j2??um/M?vn/N?)???*